Astronomía

Calcular la amplitud de la marea radial en un planeta a partir de los números fluidos de Love

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¿Cómo se calculan las amplitudes de las mareas a partir de los números fluidos de Love? En mi curso de física planetaria vi una expresión aproximada para el desplazamiento de la marea de equilibrio:

$$ Big | frac {V_T} {g} Big | approx frac {3} {4} frac {M_ odot R_p ^ 4} {M_p a ^ 3} $$

dónde $ V_T $ es el potencial de generación de mareas, $ g $ es la gravedad, $ M_p $ es la masa del planeta, $ R_p $ el radio y $ a $ es el semi-eje mayor de la órbita. El desplazamiento sería entonces $ xi = h frac {V_T} {g} $. Esto no distingue entre amplitudes radiales en el ecuador o en los polos. Lo pregunto porque estaba leyendo este artículo. Esperaba que la amplitud radial correspondiera a mi fórmula anterior (que se me dio sin referencia o derivación), pero con un número de amor h = 0,77 obtengo $ xi = 0,64 $m en lugar de $ xi = 1,93 $metro.

El potencial de marea en mis notas es $$ V_T (r) = - frac {GM} {a} Big ( frac {r} {a} Big) ^ 2 (1 + 3e cos (M)) Big [- frac {1 } {2} P_2 ^ 0 ( cos theta) + frac {1} {4} P_2 ^ 2 ( cos theta) ( cos (2 lambda) + 4e sin (M) sin (2 lambda) Grande] $$ $ e $ es la excentricidad, la $ P $ son polinomios de Legendre: $ P_2 ^ 0 = frac {1} {2} (3 cos ^ 2 theta - 1) $ y $ P_2 ^ 2 = 3 sin ^ 3 theta $. $ lambda $ es la longitud medida con respecto al eje longitudinal del planeta. Jugué un poco con esta fórmula, pero nunca encuentro una amplitud de 1,93. Podría ser que esto no sea lo que se entiende por "amplitud" radial.

El hecho de que no se mencione ningún método de cálculo en el artículo me hace pensar que es realmente obvio o bien conocido.


Recuperación del número de amor fluido k2 en las curvas de tránsito exoplanetario

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1 Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt Rutherfordstraße 2, D-12489 Berlín, Alemania [email protected]

2 Technische Universität Berlin Straße des 17. Juni 135, D-10623 Berlín, Alemania

3 Freie Universität Berlin Kaiserswertherstraße 16-18, D-14195 Berlín, Alemania

Recibido el 17 de diciembre de 2018
Revisado el 7 de mayo de 2019
Aceptado el 7 de mayo de 2019
Publicado el 20 de junio de 2019

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Resumen en lenguaje sencillo

Debido a la proximidad al Sol, las mareas se elevan en Mercurio de la misma manera que la Luna provoca las mareas oceánicas en la Tierra. Aunque la superficie de Mercurio es rígida, un gran núcleo de fluido provoca un maremoto que se propaga por todo el planeta. Utilizando los resultados de la misión MESSENGER de la NASA, calculamos que la superficie también debería deformarse entre 20 cm y 2,40 m durante cada órbita de Mercurio alrededor del Sol. Esta es una amplitud que podría detectarse con un altímetro láser, uno de los instrumentos a bordo de la próxima misión BepiColombo. Mostramos cómo la estructura interior del planeta, en particular el tamaño de un núcleo sólido interno, puede verse limitada por la medición de las mareas. Este resultado nos ayudará a comprender mejor la evolución de Mercurio y a restringir los modelos que explican la generación del campo magnético en el núcleo de hierro de Mercurio.


1. Introducción

[2] Mercurio tiene una forma, gravedad y características tectónicas a escala global que presumiblemente están relacionadas con su formación y evolución temprana, y que siguen siendo poco conocidas. Ahora que la nave espacial MESSENGER está tomando nuevos datos [ Solomon y col., 2008], es apropiado reevaluar qué limitaciones imponen estas características de escala global en la historia de Mercurio. Al hacerlo, nos basaremos en análisis basados ​​en observaciones de Mariner 10 (que se detallan a continuación), así como en desarrollos teóricos más recientes relacionados con la gravedad global y la tendencia a reorientar los cuerpos deformados por marea y rotación [por ejemplo, Garrick-Bethell y col., 2006 Matsuyama y Nimmo, 2007, 2008]. Concluiremos que el campo de gravedad de Mercurio y muchas de sus características tectónicas se generaron durante una época temprana cuando su tasa de rotación estaba disminuyendo desde una tasa inicialmente rápida, y que involucró un verdadero evento de desviación polar impulsado por la formación de un exceso de masa asociado con el Cuenca Caloris.

[3] El resto de este documento está organizado de la siguiente manera. El resto de la sección 1 resumirá el trabajo relevante en el campo, mientras que la sección 2 examinará cómo los cambios en la excentricidad orbital, el semieje mayor, la tasa de rotación planetaria y la orientación de los polos afectan la forma a escala global, la gravedad y los patrones de tensión. En la sección 3 se analiza cómo las características tectónicas y gravitacionales observadas limitan cuál de estos efectos probablemente haya influido. La sección 4 analiza las implicaciones de nuestro escenario favorito (una alta velocidad de giro inicial y un evento de reorientación posterior) y hace predicciones que pueden probarse con las observaciones de MESSENGER. Finalmente, los detalles de nuestros cálculos se presentan en los apéndices.

[4] La resonancia de giro-órbita 3: 2 actual de Mercurio presumiblemente ocurrió cuando la velocidad de giro inicial del planeta disminuyó debido a las mareas solares [por ejemplo, Peale, 1988], aunque cómo ocurrió la captura en esta resonancia particular depende de la naturaleza poco conocida de la disipación dentro de Mercurio. Es poco probable que la disipación dentro de Mercurio haya sido suficiente para haber reducido en gran medida su excentricidad (actual mi = 0,205), que se ve obligado a valores altos por perturbaciones seculares [ Murray y Dermott, 1999]. Es igualmente poco probable que la disipación dentro del Sol haya afectado significativamente su semieje mayor.

[5] Los sobrevuelos del Mariner 10 proporcionaron restricciones sobre los coeficientes de gravedad de grado 2 del planeta [ Anderson y col., 1987]. El rango de radar proporcionó mediciones de la forma global alrededor del ecuador [ Anderson y col., 1996], y un solo perfil altimétrico de MESSENGER arrojó una elipticidad ecuatorial idéntica, dentro del error [ Zuber y col., 2008]. La elipticidad ecuatorial se interpretó junto con el coeficiente de gravedad ecuatorial grado-2 para inferir una corteza gruesa (100-300 km) [ Anderson y col., 1996]. Estimaciones del grosor de la corteza a partir de estudios de relajación [p. Ej., Watters y col., 2005 Nimmo y Watters, 2004] rinden valores en el extremo inferior de este rango.

[6] Mercurio exhibe un patrón global de características tectónicas [ Melosh y McKinnon, 1988 Watters y Nimmo, 2008]. Se cree que la mayoría de estas características (escarpas lobuladas y crestas arrugadas) son de origen compresivo, equivalente a una contracción radial de & lt1 km [ Watters y col., 1998], aunque la orientación y distribución no uniformes de estas características pueden indicar que las tensiones a escala regional o no isotrópicas son importantes [ Watters y col., 2004]. Se espera que surja una contracción como resultado de la solidificación del núcleo [ Salomón, 1976], mientras que el desprecio y la reorientación también pueden haber jugado un papel [ Melosh y McKinnon, 1988 Watters y Nimmo, 2008 ].

[7] La ​​característica más dramática de Mercurio es la cuenca de impacto de Caloris [p. Ej., Murchie y col., 2008]. Hay al menos dos formas en las que una cuenca de impacto de este tipo podría generar características tectónicas. Primero, su formación (quizás combinada con el emplazamiento de las llanuras volcánicas circundantes) y su posterior relleno y relajación podrían generar características tectónicas locales [por ejemplo, Melosh y McKinnon, 1988 Watters y col., 2005 Kennedy y col., 2008]. En segundo lugar, a menos que Caloris se compensara exactamente isostáticamente, habría causado una reorientación planetaria [por ejemplo, Melosh y Dzusirin, 1978a Willemann, 1984], que a su vez genera tensiones tectónicas globales [ Melosh, 1980]. Generalmente se asume que Caloris representa un exceso de masa, similar a las concentraciones de masa en la Luna [ Muller y Sjogren, 1968]. Sin embargo, la ubicación de la carga podría estar dentro de la cuenca y ser responsable de las características de compresión allí [ Melosh y McKinnon, 1988], o podría estar en un anillo de llanuras volcánicas emplazadas alrededor de la cuenca [ Melosh y Dzurisin, 1978b]. Melosh y Dzurisin [1978a] y Willemann [1984] utilizó la ubicación de Caloris y los coeficientes de gravedad de grado 2 para inferir límites inferior y superior en el espesor de relleno anular no compensado de 0,4 y 5 km, respectivamente. Tratamos el tema de la carga y reorientación de Caloris con cierto detalle a continuación.

[8] La cantidad de reorientación depende del estado de compensación y, por lo tanto, del espesor elástico efectivo. Tmi de la característica en cuestión. Medidas directas de Tmi para Mercury no están disponibles actualmente. Sobre la base de profundidades de falla inferidas, Nimmo y Watters [2004] obtenido Tmi valores de 25 a 30 km en el momento de la formación de la escarpa lobulada. Si Caloris está rodeado por ∼1 km de material no compensado, entonces el espesor elástico debe haber sido ∼100 km en el momento de la carga [ Watters y Nimmo, 2008]. A una conclusión similar llegó Melosh y McKinnon [1988] sobre la base de la presencia de extensión dentro de Caloris y fallas de empuje ecuatorial. Parece probable que las variaciones espaciales o temporales en Tmi se están grabando.


3. Mareas dinámicas en un planeta gigante gaseoso

Siguiendo nuestro modelo simplificado de mareas dinámicas, calculamos Δk2 en un modelo sin núcleo, químicamente homogéneo y adiabático similar a Júpiter. El estado térmico se vuelve casi adiabático en un planeta fluido convectivo de composición homogénea. Desde el punto de vista de los cálculos de mareas, la desviación de la adiabaticidad es insignificante en el interior porque la superadiabaticidad requerida para mantener la convección es una fracción minúscula del gradiente de temperatura adiabática, a pesar de las posibles inhibiciones derivadas de la rotación y la convección. Una parcela de fluido en un interior adiabático que se desplaza adiabáticamente por una perturbación de marea se encontrará en un nuevo estado que esencialmente no cambia en densidad y temperatura desde el estado no perturbado a esa presión. Esta definición de estabilidad neutra comienza a descomponerse cerca de la fotosfera, donde la densidad es baja y la constante de tiempo radiativo ya no es enorme para las manchas con una dimensión espacial del orden de la altura de la escala. Sin embargo, esa región representa solo una pequeña fracción del planeta y no produce suficiente gravedad para alterar significativamente la parte real del número de Amor. k. Discutimos contribuciones hipotéticas a k a partir de una composición química de núcleo y profundidad variable en la Sección 4.

Para simplificar los argumentos presentados en esta sección, nos concentramos principalmente en el número de Amor en = metro = 2, comúnmente conocido como k2. Correspondientemente, k2 es forzado por el componente de grado 2 en la atracción gravitacional:

Escala de efectos dinámicos con el satélite dependiente ω. Nos concentramos en los efectos dinámicos causados ​​por Io, el satélite galileano con la atracción gravitacional dominante sobre Júpiter.

3.1. Un gigante gaseoso que no gira

Para una excelente aproximación, las mareas dinámicas en un planeta no giratorio representan la respuesta forzada del planeta en el modo normal fundamental de oscilación (F-modo Vorontsov et al. 1984). A pesar de que Cassini sugirió que los armónicos de modo normal de orden superior (pag-modos) dominan el campo gravitacional de los modos normales de oscilación libre de Saturno (Markham et al. 2020), la respuesta forzada de los modos normales depende del acoplamiento de la atracción gravitacional y la función propia radial del modo. La respuesta forzada del pag-modes contribuye de manera insignificante al campo gravitacional de las mareas dinámicas (Vorontsov et al. 1984) debido al mal acoplamiento entre el componente radial de nodo cero de la atracción gravitacional y el pag-funciones propias de los modos, teniendo este último uno o más nodos radiales. Por el contrario, la atracción gravitacional excita de manera más eficiente F-modos, cuyas funciones propias radiales siguen aproximadamente la escala radial de la atracción gravitacional (∝ r ).

3.1.1. La analogía del oscilador armónico

A continuación, usamos el oscilador armónico forzado como modelo analógico para forzar la marea. F-modos. En este modelo, la corrección dinámica fraccionaria para k2 adquiere una forma analítica simple. La ecuación de movimiento de una masa METRO conectado en movimiento armónico a un resorte de rigidez y disipación insignificante es

dónde ω es la frecuencia de forzamiento y F T es el forzamiento de la marea. La F-los modos oscilan en frecuencias ω0 que son mucho más altas que la frecuencia de marea forzada, lo que significa que las resonancias de marea con F-los modos son muy poco probables. Suponiendo que los efectos dinámicos son pequeños, de modo que el forzamiento de la marea se equilibra principalmente con los efectos estáticos (es decir,), el desplazamiento de la masa es

La masa asume la posición de equilibrio estático. tus ya que la frecuencia de forzamiento tiende a cero. El desplazamiento tu es análogo al número de Amor k por lo tanto, la corrección dinámica fraccionaria se convierte en

3.1.2. El libre de Coriolis norte = 1 Politropo

Para verificar la analogía del oscilador armónico forzado con el forzado por marea F-modos, calculamos la respuesta de marea de un no rotatorio norte = 1 politrópo directamente de las ecuaciones que gobiernan las mareas. Cuando Ω = 0, la ecuación gobernante (14) se reduce a

Por el potencial ψ a = metro = 2, la condición de límite en el límite exterior r = Rpag (Ecuación (17)) es

Para el mismo grado y orden, la continuidad del potencial gravitacional y su gradiente en el límite exterior requiere

En el centro del planeta r = r0 → 0, encontramos la siguiente escala: ∇ 2 0

0 y. Un potencial finito ψ satisfaciendo la Ecuación (23) es ψ2

De manera similar, un potencial gravitacional finito de las mareas dinámicas está en el centro del planeta, satisfaciendo

Calculamos la corrección dinámica fraccionaria para k2 proyectando primero las ecuaciones de marea en armónicos esféricos (Apéndice B) y luego resolviendo los potenciales relevantes usando un método numérico pseudoespectral de Chebyshev (Apéndice C). Después de proyectar las ecuaciones (15) y (23) en armónicos esféricos, obtenemos dos ecuaciones desacopladas para las partes radiales de los potenciales ψ y (Apéndice B.1). Después de resolver numéricamente las ecuaciones radiales en el Apéndice B.1 usando la fuerza gravitacional de Io (ωs ≈ 42 μHz) la corrección dinámica fraccionaria corresponde a Δk2 ≈ 1,2%, en estrecha concordancia con la analogía del oscilador armónico forzado aplicada a la frecuencia de oscilación del grado-2 F-modo ω0 ≈ 740 μHz (Vorontsov y col. 1976). Observamos una concordancia similar entre el oscilador armónico y el libre de Coriolis norte = 1 politrópo en armónicos esféricos de mayor grado (Tabla 1). Nuestros resultados concuerdan con una corrección fraccionaria reportada previamente al coeficiente gravitacional C2,2k2 debido a las mareas dinámicas en un Júpiter que no gira (Vorontsov et al. 1984).

Tabla 1. Corrección dinámica fraccional inducida por Io Δk en un Júpiter sin Coriolis

Oscilador armónico norte = 1 Politropo
Tipo(%)(%)
(1)(2)(3)
Δk2+15+13
Δk42+5+5
Δk31+2+2
Δk33+19+15
Δk44+25+19

Nota. (2) Consulte la ecuación (22). La frecuencia de modo sin rotación proviene de Vorontsov et al. (1976).

Cuando Vorontsov et al. (1984) excluyó el giro de Júpiter, estaban haciendo algo que era matemáticamente sensato pero físicamente peculiar. Las mareas ocurren con mucha más frecuencia en el marco de referencia giratorio de Júpiter y, en consecuencia, el flujo de la marea es mucho mayor que si se tuviera a Júpiter en reposo, lo que implica un efecto dinámico mucho mayor. En consecuencia, Δk2 aumenta en un orden de magnitud después de incluir parcialmente la rotación de Júpiter en la respuesta forzada por las mareas de F-modos. Sin el efecto Coriolis pero incluyendo la velocidad de giro de Júpiter (Ω ≈ 176 μHz) en el cálculo de la frecuencia de mareas de Io (ω ≈ 270 μHz), la corrección dinámica fraccionaria en un norte = 1 politrópo corresponde a Δk2 ≈ 13%, cerca del Δk2 ≈ 15% de la analogía del oscilador armónico forzado (Ecuación (22)). En general, para un planeta que no gira, la corrección dinámica aumenta a medida que la frecuencia de las mareas se acerca a la frecuencia característica de Júpiter. F-modos ( μHz).

3.2. El efecto Coriolis en un gigante gaseoso giratorio

Los satélites galileanos producen mareas dinámicas en las que el efecto Coriolis juega un papel importante. Siguiendo órbitas relativamente lentas (ωs Ω), los satélites galileanos producen mareas en Júpiter con una frecuencia de marea ω

2Ω. En consecuencia, los dos términos inerciales responsables de las mareas dinámicas en el lado izquierdo de la ecuación de movimiento (Ecuación (4)) tienen amplitudes similares. Además, Juno observa k2 ser menor que el número predicho para una marea puramente hidrostática (Sección 2.1), y sin embargo, nuestro análisis anterior produce un Δ positivok2 cuando se incluyen efectos dinámicos y se desprecia el efecto Coriolis (ver Ecuación (22)). En consecuencia, debemos motivar el cambio de signo cuando se incluye Coriolis.

A continuación, calculamos primero el efecto gravitacional de las mareas dinámicas en una esfera de densidad uniforme para revelar el comportamiento fundamental de las ecuaciones de mareas, evitando la mayoría de las dificultades técnicas relacionadas con el uso de una norte = 1 politrópo. Más tarde descubrimos que el caso más complicado de una norte = 1 politrópo introduce una diferencia cuantitativa menor pero conduce al mismo comportamiento general.

3.2.1. Una esfera de densidad uniforme

Primero, explicamos por qué Δk2 cambia de signo por efecto Coriolis en un modelo especialmente simple con densidad uniforme. Calculamos la corrección dinámica fraccionaria para k2 en dos pasos: (1) calculamos el potencial del flujo ψ en una esfera de densidad uniforme, y (2) usamos el ψ calculado de esta manera para calcular el potencial de gravedad.

En una esfera de densidad uniforme, la velocidad del sonido Cs es infinito, y la Ecuación (10) se reduce al conocido problema de Poincaré (Greenspan et al. 1968),

donde se requiere la condición de límite en el límite exterior para satisfacer la Ecuación (18).

Siguiendo la incompresibilidad de una esfera de densidad uniforme, ψ2 retiene la simetría y la estructura angular de grado 2 de la atracción gravitacional en la Ecuación (19), adquiriendo así soluciones exactas en la forma

El factor numérico en ψ2 está establecido por la condición de límite exterior (Ecuación (17)), correspondiente a (Goodman & amp Lackner 2009)

En una esfera de densidad constante, las mareas actúan desplazando el límite de la esfera dentro de una capa infinitesimalmente delgada. De acuerdo con la ecuación del momento, el potencial gravitacional de las mareas se relaciona con el potencial ψ siguiente

El desplazamiento radial de la marea proyectado en armónicos esféricos es

y la perturbación de la presión sigue

El potencial gravitacional de una perturbación de densidad esférica delgada se deriva directamente de la definición del potencial gravitacional y la integración en todo el volumen:

El potencial gravitacional de mareas de grado 2 corresponde a

Una vez más usamos la teoría de la perturbación para dividir las contribuciones hidrostáticas y dinámicas al desplazamiento de la marea (es decir, ξ2 = ξ 0 + ξ dyn). Primero resolvemos el conocido problema de la hidrostática k2 (es decir., ψ = 0) en una esfera de densidad uniforme (Love 1909). En el límite de la esfera (es decir, r = Rpag), el potencial gravitacional hidrostático sigue 0 = 3gramo ξ 0/5. De la Ecuación (31) evaluada en r = Rpag, el potencial de la atracción gravitacional se convierte en T = 2gramo ξ 0/5. Después de los dos últimos resultados, el número de Amor es k2 = 3/2, como se esperaba.

La contribución dinámica al desplazamiento de las mareas ξ dyn produce el potencial gravitacional dyn = 3gramo ξ dyn / 5. Después de aplicar la teoría de la perturbación y cancelar los términos hidrostáticos de la ecuación (31), el potencial ψ2 se convierte en ψ2 = −2gramo ξ dyn / 5. Combinado con la ecuación (30), el último resultado para ψ2 nos permite alcanzar una expresión para la corrección dinámica fraccional en una esfera de densidad uniforme:

Dos efectos contribuyen a la corrección dinámica fraccional: una contribución negativa del efecto Coriolis y una contribución positiva de la amplificación dinámica de F-modos. Las dos contribuciones se cancelan entre sí en 2Ω = ω, donde la marea alcanza el equilibrio hidrostático. Las mareas se vuelven hidrostáticas no solo cuando el giro planetario está bloqueado en fase con la órbita del satélite (Ω = ωs) sino también en sistemas planeta-satélite donde el cuerpo central gira a una velocidad de muchos órdenes de magnitud más rápida que la órbita del satélite (es decir, Ω ωs). Como la frecuencia del grado-2 F-modo sigue aproximadamente, Δk2 en la Ecuación (36) aproximadamente se convierte en la corrección fraccional positiva determinada en la Sección 3.1 después de establecer Ω = 0.

A la frecuencia de marea inducida por Io de grado 2, la corrección dinámica fraccional corresponde a Δk2 ≈ −7,8%. Los otros satélites galileanos conducen a un Δ más pequeñok2 porque su frecuencia de mareas cae más cerca del equilibrio hidrostático (Figura 2). Un Δ negativok2 trabaja en la dirección requerida por el componente no hidrostático identificado por Juno en el campo de gravedad de Júpiter (Sección 2.1).

Figura 2. Corrección dinámica fraccionada Δk2 en una esfera giratoria de densidad uniforme que incluye el efecto Coriolis en función de la frecuencia de las mareas (consulte la Ecuación (36)).

La dirección del flujo proporciona una explicación del signo negativo de la corrección dinámica fraccional a través de la aceleración de Coriolis. Por definición, una esfera de densidad uniforme no tiene perturbaciones de densidad en su interior y, por lo tanto, produce un potencial gravitacional de marea interior que satisface. Adoptamos la ecuación (30) como potencial de grado 2 ψ y obtener soluciones analíticas para las componentes cartesianas del flujo de marea de grado 2 resultante utilizando la ecuación (9),

dónde A es una constante que depende de ξ (Apéndice D). El flujo de marea de grado 2 existe puramente en planos ecuatoriales, sin mostrar componente vertical de movimiento (Figura 3 (b)).

Figura 3. Grado-2 ( = metro = 2) perturbaciones de marea en una esfera de densidad uniforme forzadas por la atracción gravitacional de un satélite compañero: (a) el no giratorio F-modo aceleración -ω 2 ξ, (b) flujo de marea como se muestra en la Ecuación (37), y (c) Aceleración de Coriolis Ω & # x00d7 v según la regla de la mano derecha.

La aceleración de Coriolis juega un papel importante en el establecimiento del signo de la corrección dinámica fraccional para los satélites galileanos. Sin Coriolis, la aceleración de no rotatorio F-modes sostiene un desplazamiento de marea dinámico positivo que sigue ξ dyn ≈ 5Rpag ω 2 ξ 0 /4gramo. A ξ dyn & gt 0 aumenta el campo gravitacional de las mareas, lo que conduce a un Δ positivok2. Por el contrario, como se muestra en la Ecuación (36), la corrección dinámica fraccional cambia el signo cuando Coriolis promueve ξ dyn & lt 0. Un término de Coriolis entra en la ecuación del momento, introduciendo una aceleración que compite con la aceleración de F-modos, finalmente impactando ξ dyn. De acuerdo con la regla de la mano derecha, la aceleración de Coriolis (es decir, Ω & # x00d7 v Figura 3 (c)) se opone a la dirección de la aceleración de F-modos (es decir, -ω 2 ξ Figura 3 (a)). El campo gravitacional resultante es más pequeño que el campo hidrostático si ω & lt 2Ω, donde la aceleración de Coriolis supera la aceleración de F-modos.

3.2.2. La norte = 1 Politropo

A continuación, consideramos el caso más relevante de un planeta comprimible que sigue un norte = 1 ecuación de estado politrópica (Ecuación (14)). En contraste con la perturbación de marea localizada de una esfera de densidad uniforme, un cuerpo comprimible produce una anomalía de densidad inducida por las mareas que surge de la advección de las superficies de isodensidad dentro del cuerpo. El potencial gravitacional de las mareas resultante es diferente en cada caso debido a las diferencias en la distribución de la densidad perturbada por las mareas obtenida en una esfera de densidad uniforme y un cuerpo comprimible.

A pesar de la diferencia antes mencionada entre modelos, el flujo de las mareas sigue siendo similar por lo que las mareas dinámicas motivan una corrección negativa a k2 en cada caso. En un norte = 1 politrópo, la ecuación de continuidad (5) nos dice que la componente radial de grado 2 del flujo toma la forma vrj2(kr)/j1(kr) cuando el flujo tiene una pequeña divergencia, como lo hace. Sorprendentemente, la contribución dominante a la expansión de la serie de Taylor de vr es lineal en r, incluso hasta una gran fracción del radio planetario. En una esfera de densidad uniforme, el potencial ψ es ψ2r 2, que conduce a un flujo de marea que sigue v2 ∝ ∇ψ2 por lo tanto, vr también es lineal en r en este modelo. Como se muestra, la contribución dominante a vr escalas con radio como ∝r, ambos en un norte = 1 politrópo y en una esfera de densidad uniforme. En un norte = 1 politrópo, la contribución dominante a vr no tiene rizos ni divergencias y proporciona la ψ2r 2 parte de la solución al potencial ψ (Figura 4 (a)). Desde el norte = 1 polytrope también contiene términos donde ψ es de orden superior en r, produce un flujo con curvatura y divergencia distintos de cero, lo que provoca ψ2 salir de ψ2r 2. Porque los términos de alto orden en r son más pequeños que el término dominante, los efectos dinámicos en k2 en una esfera de densidad uniforme son cualitativamente similares a los de una norte = 1 politrópo.

Figura 4. Funciones radiales en un norte = 1 politrópo (curvas gruesas azul y naranja) del (a) potencial ψ y (b) dinámicamente dyn potencial gravitacional. Las curvas negras más delgadas en el panel (a) representan la escala radial del potencial ψ en una esfera de densidad uniforme.

Calculamos la corrección dinámica fraccionaria para k2 en un politrópo rotatorio siguiendo la misma estrategia utilizada en la Sección 3.1.2. En oposición al politrópo sin Coriolis, resolver la Ecuación (14) es técnicamente desafiante debido a la -acoplamiento del potencial ψ,metro (por ejemplo, modo de mezcla) promovido por el efecto Coriolis. La mezcla de modos también se encuentra en las mareas hidrostáticas sobre un planeta distorsionado por el efecto de la fuerza centrífuga (Wahl et al. 2017a). El resultado de proyectar la Ecuación (14) en armónicos esféricos es un infinito -conjunto acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias para ψ,metro (Apéndice B.2), observado de manera similar en el problema de las mareas dinámicas disipativas (Ogilvie & amp Lin 2004). La promoción de Coriolis -El acoplamiento proviene del seno y el coseno en la velocidad de giro del planeta (), que cambia el grado de los armónicos esféricos relacionados con ψ. Como consecuencia, un armónico esférico dado de 0 en el lado derecho de la Ecuación (14) fuerza múltiples armónicos esféricos del potencial ψ con diferente .

Proyectada en coordenadas esféricas, la condición de contorno (Ecuación (17)) en r = Rpag corresponde a

La condición de límite exterior también es -acoplado después de ser proyectado en armónicos esféricos (Apéndice B.2).

En el centro del planeta r = r0 → 0, encontramos la siguiente escala: ∇ 2 0

0 y. Como resultado, la Ecuación de mareas (14) se convierte en el problema de potencial ψ en una esfera de densidad uniforme (Ecuación (28)) cerca del centro. Se requiere que sea finito cerca del centro y satisfaga la Ecuación (28), la parte radial del potencial ψ sigue ψ,metro

r . La condición de frontera para ψ,metro cerca del centro corresponde a

La ecuación para el potencial gravitacional de las mareas dinámicas dyn permanece sin cambios en comparación con el politrópo sin Coriolis (Apéndice B.1). Las condiciones de contorno exterior e interior para el potencial gravitacional se generalizan en grado como

Proyectando ψ,metro y ,metro en una serie de norte Polinomios de Chebyshev orientados en la componente radial (Apéndice C), resolvemos numéricamente las Ecuaciones (B4) y (B14) truncando la serie infinita de -ecuaciones acopladas en un arbitrario. Elegimos un límite de truncamiento y el número de polinomios de Chebyshev basados ​​en evidencia numérica de convergencia para k2 y k42.

Obtenemos Δk2 = −4.0% a la frecuencia de marea inducida por Io grado-2 (Tabla 2), que es de amplitud ligeramente menor que la estimación en una esfera de densidad uniforme y de acuerdo con la k2 componente no hidrostático observado por Juno en PJ17. Tanto el modelo de esfera de densidad uniforme como el de polytrope producen correcciones dinámicas fraccionarias que caen dentro de la estimación del orden de magnitud. Como se argumentó antes, la contribución dominante al potencial ψ sigue la escala radial ψr (Figura 4 (a)). Ignorando el signo, la escala radial del potencial gravitacional dinámico dyn (Figura 4 (b)) sigue de cerca la forma del potencial gravitacional hidrostático (Figura 1). Debido a la geometría esencialmente circular y ecuatorial de las órbitas galileanas, el armónico esférico = metro = 2 domina el campo gravitacional de las mareas de Júpiter. En consecuencia, nos concentramos en comparar el k2 Observación de Juno a nuestro modelo de predicción. De incertidumbre significativamente mayor, el informe de Juno de mitad de misión sobre los números de Love en PJ17 incluye otros armónicos esféricos además de k2 (Tabla 2). Nuestro modelo politrópico predice un campo gravitacional de mareas inducido por Io en un 3σ acuerdo con la mayoría de los números de Love observados en PJ17, excepto por k42 y k31.

Tabla 2. Números de amor de Júpiter

HidrostáticoJuno PJ17 3σ3σ Diferencia fraccionalΔk (Giratorio norte = 1 Politropo)
TipoNúmeroNúmero(%)(%)
IoEuropaGanimedesCalisto
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
k20.5900.565 ± 0.018−7/−14−2−1−1
k421.7431.289 ± 0.189−37/−15 +7+8+10+12
k310.1900.248 ± 0.046+6/+55 +1+3+4+5
k330.2390.340 ± 0.116−6/+91 +2+5+7+8
k440.1350.546 ± 0.406+4/+605 +7+11+13+15

Nota. (2) El número hidrostático es de Wahl et al. (2020). (3) El Juno PJ17 3σ número es el número independiente de satélite de Durante et al. (2020). (4) Los 3σ la diferencia fraccionaria representa el mínimo / máximo 3σ corrección fraccional no hidrostática requerida para explicar las observaciones de Juno. La corrección dinámica fraccionaria en las columnas (5) - (8) es válida para un norte = 1 politrópo forzado por la atracción gravitacional de los satélites galileanos. Los valores en negrita representan la corrección dinámica fraccional a la frecuencia de marea de Io, el satélite con la atracción gravitacional dominante en Júpiter.

3.2.3. Detección de mareas dinámicas en sistemas distintos de Júpiter – Io

La detección de mareas dinámicas a través de la medición directa del campo gravitacional será un desafío en otros cuerpos además de Júpiter (Figura 5). El 1σ Se proyecta que la incertidumbre en el campo gravitacional de las mareas de grado 2 Io sea σJ

6 & # x00d7 10 −2 m 2 s −2 al final de la misión ampliada de Juno propuesta (W. Folkner 2021, comunicación personal, 8 de abril de 2020). La incertidumbre en el campo de gravedad de las mareas medido depende del número y diseño de las órbitas de las naves espaciales, la incertidumbre en las efemérides y las capacidades instrumentales. Asumiendo la incertidumbre σJ, estimamos aproximadamente la atracción gravitacional requerida para producir un componente dinámico detectable en el campo de gravedad usando

Nuestro cálculo indica que la detección de mareas dinámicas en Saturno requerirá una misión con una determinación del campo gravitatorio más precisa que la obtenida por Juno (Figura 5). A 1σ La detección de mareas dinámicas inducidas por Europa parece plausible al final de la misión extendida de Juno, asumiendo que los factores que determinan la incertidumbre en el campo de gravedad siguen siendo similares a los de Io. Calculamos una predicción de modelo para el número de Júpiter Love dependiente de satélites para todos los satélites galileanos (Tabla 2). Obtenemos k2 = 0,578 en el caso de Europa, una predicción comprobable por la misión ampliada Juno recientemente aprobada.

Figura 5. Condiciones para la detección de mareas dinámicas evaluadas para los satélites galileanos (negro) y satélites internos de Saturno (blanco). Los satélites a la derecha de la línea discontinua tienen condiciones favorables para la detección de mareas dinámicas asumiendo una incertidumbre aproximadamente similar a la de Io k2 en Júpiter al final de la misión extendida de Juno. La corrección dinámica fraccionaria Δk2 es para un norte = 1 politrópo.


4. El período y Q del bamboleo de Chandler

[29] Las observaciones de la altura de la superficie del mar del altímetro T / P se obtienen después de aplicar correcciones ambientales a las mediciones del rango del altímetro sin procesar para los retrasos en el rango causados ​​por la troposfera húmeda y seca, la ionosfera y el sesgo del estado del mar. Las correcciones geofísicas para la superficie media del mar, la respuesta del barómetro inverso y las mareas sólidas lunisolares de la Tierra, el océano y la carga se aplican a las mediciones de la altura de la superficie del mar. El océano diurno y semidiurno y las mareas de carga del modelo GOT99.2b [ Rayo, 1999] y se adopta un modelo de equilibrio de las mareas oceánicas lunisolares de período largo para las correcciones de mareas oceánicas y de carga. Las observaciones de la altura de la superficie del mar no se corrigen de ninguna manera para la marea polar.

[30] Los errores del sistema de control de actitud pueden haber degradado la calidad de las mediciones de T / P durante los primeros nueve ciclos repetidos de la misión, por lo que solo se consideran los datos de los ciclos repetidos 10 a 331, correspondientes al 21 de diciembre de 1992 al 18 de septiembre de 2001. . Un ciclo de repetición se refiere al hecho de que la trayectoria terrestre T / P se repite exactamente una vez cada 9,9156 días, y podría considerarse el intervalo de muestreo de las alturas globales de la superficie del mar. Los datos del altímetro de estado sólido de frecuencia única experimental en el satélite T / P también se excluyen de este análisis, ya que no tienen las mismas precisiones de medición que los datos del altímetro de frecuencia dual [ Fu y col., 1994]. El satélite T / P tiene una órbita con un ángulo de inclinación de 66 °, por lo que las mediciones de la altura de la superficie del mar solo están disponibles dentro de las latitudes de ± 66 °. En latitudes polares se introducen grandes lagunas en las series de tiempo de las mediciones de la altura de la superficie del mar T / P porque los océanos en esas regiones están cubiertos por hielo durante una parte significativa de cada año. Es probable que estas grandes lagunas de datos corrompan cualquier estimación de las variaciones de la altura de la superficie del mar en el período de oscilación de Chandler de 433 días, por lo que los datos T / P utilizados aquí se limitan aún más a latitudes dentro de ± 60 °.

[31] Hay varias fuentes de variaciones estacionales en las alturas de la superficie del mar y éstas son indistinguibles de las asociadas con la marea polar. Por lo tanto, las estimaciones de mínimos cuadrados de las variaciones anuales y semestrales se eliminan tanto de las observaciones altimétricas de la altura de la superficie del mar como de las ubicaciones del polo de rotación antes de correlacionar los dos tipos de observaciones. Además, las estimaciones de mínimos cuadrados de las variaciones medias y seculares también se eliminan siempre de los datos altimétricos y de los polos de rotación, y deben acomodar cualquier error en la deriva supuesta del polo de rotación medio. Se espera que las variaciones residuales en el polo de rotación y las deformaciones de la marea del polo residual de la superficie del mar ocurran casi por completo en el período de oscilación de Chandler.

[34] Incrementando el valor supuesto de h2 en un 1% aumenta el valor estimado de k2 en menos del 0,15%. Tenga en cuenta también que si se ignora el segundo término de la ecuación (22), entonces la amplitud y fase estimadas de k2 es 0,363 y -4,6 °. Esto ilustra la importancia de tener en cuenta la autogravitación y la carga de la marea del polo oceánico, ya que esta diferencia de 0.055, o 18%, en la amplitud estimada de k2 se explica principalmente por el término ignorado γ2(1 + k2′) Α2a21 = 0,047. También vale la pena señalar que si se supuso que el polo informado era idéntico al polo de rotación, eso es metro(t) = pag(t), en lugar de usar la ecuación (7) para relacionar el polo informado con el polo de rotación, entonces el valor estimado de k2 en el período de oscilación de Chandler sería mayor en aproximadamente 0,003, o 1%.

[35] También se intenta observar cualquier característica de longitud de onda más corta de la marea del polo oceánico. Mapas de la función de admitancia de la marea del polo geocéntrico, según lo definido por ZA(θ, λ) en la ecuación (21), se estiman simultáneamente con la media, la deriva y la respuesta estacional en los intervalos geográficos de 3 por 3 °. Como antes, las funciones de admitancia son con respecto a los datos del polo de rotación que tienen las variaciones estacionales eliminadas. Estas estimaciones de la admitancia se suavizan con una función de suavizado gaussiana similar a la utilizada por Desai y Wahr [1995]. La Figura 5 muestra estos mapas junto con la función de admitancia geocéntrica de equilibrio predicha definida por A(θ, λ) en la ecuación (22) usando valores de h2 = 0,6027 y k2 = 0.308.

[36] Estos mapas confirman el acuerdo de longitud de onda larga entre la respuesta de equilibrio geocéntrica observada y predicha. Hay desviaciones aparentes de longitud de onda corta de la respuesta de equilibrio esperada. Sin embargo, muchas de estas características de longitud de onda corta están correlacionadas con un fuerte fenómeno oceanográfico. Como tal, probablemente se interpreten mejor como ruido en la función estimada de admitancia de la marea del polo geocéntrico que se está introduciendo por el desacoplamiento inadecuado de la circulación oceánica general de los océanos de la deformación de la marea del polo geocéntrico del registro de datos limitado de 9 años. Por ejemplo, la función de admitancia real observada muestra características en las regiones ecuatoriales del Océano Pacífico que están altamente correlacionadas con el fuerte evento de El Niño que ocurrió en 1997–1998. Las alturas de la superficie del mar de hasta 25 cm están asociadas con este evento y son mucho mayores que la desviación estándar global de 9 cm de la anomalía de la altura de la superficie del mar que normalmente se observa por T / P. Otro ejemplo está en la admitancia imaginaria observada donde hay una aparente desviación del equilibrio que corresponde a la Corriente del Golfo en la costa este de América del Norte.

[37] Para colocar estos resultados en perspectiva, tenga en cuenta que la admitancia máxima esperada de aproximadamente el 50% corresponde a un desplazamiento de la superficie del océano de 8 a 18 mm durante el período de tiempo de las observaciones de la altura de la superficie del mar que se utilizan en este análisis. Estas amplitudes no superan el 8% de las amplitudes de las alturas de la superficie del mar asociadas con el episodio de El Niño de 1997-1998. Además, los mapas de la función de admitancia de la marea del polo geocéntrico se generan con solo 7.5 ciclos de la oscilación de Chandler.

[39] Ambas incertidumbres citadas anteriormente son el resultado de errores formales en las estimaciones respectivas de k2. La aparente reducción de estas incertidumbres en un orden de magnitud cuando se utilizan los datos de 1 Hz en lugar del enfoque armónico esférico es un artefacto numérico que puede explicarse por el hecho de que en cada ciclo de repetición un intervalo de 3 por 3 grados contiene un promedio de 150 Mediciones de 1 Hz. Mientras tanto, el enfoque armónico esférico incluye efectivamente solo una única medición en cada contenedor de 3 por 3 grados una vez en cada ciclo repetido. Como tal, se espera que los errores formales sean menores en un factor de (150) 1/2 ≈ 12 cuando se utilizan datos de 1 Hz. Dado que las mediciones altimétricas de 1 Hz tienen una precisión de 40 a 50 mm, se podría considerar que las mediciones promediadas una vez por ciclo repetido en cada contenedor de 3 por 3 grados tienen una precisión de 3 a 4 mm. Por lo tanto, es probable que los errores formales que se determinan a partir del enfoque armónico esférico proporcionen una medida más apropiada de la incertidumbre en el valor estimado de k2 que los errores formales que resultan del uso de los datos de 1 Hz. Alternativamente, los errores formales del uso de los datos de 1 Hz deben amplificarse al menos en un orden de magnitud para tener en cuenta los errores en cada medición de 1 Hz.

[40] La Figura 6 ilustra el impacto que las observaciones T / P adicionales de los componentes armónicos esféricos de grado 2 orden 1 de las alturas de la superficie del mar tienen sobre los valores estimados y los errores formales asociados de la amplitud y fase de k2. Los valores y errores formales que se muestran en la Figura 6 se calculan mediante la inclusión incremental de un par adicional de coeficientes armónicos esféricos de grado 2 orden 1 en la estimación de k2 a medida que estén disponibles en cada ciclo de repetición T / P durante el transcurso de la misión T / P. No es probable que se produzca una reducción significativa de los errores formales a partir de datos adicionales de T / P. Sin embargo, la amplitud de oscilación de Chandler es variable en el tiempo y solo se consideran en esta figura aquellas amplitudes entre 1992 y 2001, que oscilaron entre 0,12 y 0,26 segundos de arco. Las observaciones de la altura de la superficie del mar habrían tenido una mayor sensibilidad a la marea polar si las amplitudes de oscilación de Chandler se hubieran mantenido en sus valores máximos durante todo el período de observación, y los errores formales habrían sido más pequeños, pero no más de un factor de 2.

[41] La dispersión de la amplitud y la fase que se estiman como cada uno de los últimos 131 ciclos repetidos disponibles, o aproximadamente 3 períodos de Chandler, se incluyen de forma incremental en la estimación de k2 es 0,013 y 5,5 °, respectivamente. Estos valores de la dispersión de las estimaciones de k2 son más pequeñas que las incertidumbres respectivas citadas anteriormente cuando se utilizan todas las observaciones armónicas esféricas disponibles, particularmente para la amplitud donde la dispersión es menor en un factor de más de 2. Esto sugiere que las incertidumbres citadas son algo conservadoras. Si bien es poco probable que los datos de T / P adicionales reduzcan significativamente los errores formales, estas duraciones más largas de observaciones deberían reducir la dispersión en los valores estimados de la amplitud y fase de k2.

[42] La Tabla 1 compara la amplitud y la fase de k2 que se infiere de las observaciones del movimiento polar del período y Q del bamboleo de Chandler con el resultado que se determina aquí a partir de la altimetría T / P. Los valores inferidos de k2 se obtienen asumiendo una respuesta de marea de polos de equilibrio autoconsistente con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075 [ Farrell, 1972]. Lo más notable es el hecho de que las incertidumbres en el valor de k2 que se estima a partir de la altimetría T / P es un orden de magnitud mayor que el que se infiere de las observaciones del período y Q del bamboleo de Chandler. La anelasticidad del manto hace que la Tierra sólida retrase la respuesta elástica de modo que se espera que el desfase ϵ sea positivo [ Wahr, 1985], y esto es confirmado por observaciones del bamboleo de Chandler Q. La fase de k2 determinada aquí a partir de la altimetría T / P es negativa, pero afortunadamente la incertidumbre asociada en la fase abarca el valor positivo esperado.

Autor ϵ, grados
Jeffreys [1968] a un número de Valores del amor k2 se infieren de las observaciones del período de oscilación de Chandler y Q asumiendo una respuesta de marea del polo oceánico de equilibrio autoconsistente, con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075.
0.307 ± 0.003 0.9 + 0.6/−0.6
Currie [1974] a un número de Valores del amor k2 se infieren de las observaciones del período de oscilación de Chandler y Q asumiendo una respuesta de marea del polo oceánico de equilibrio autoconsistente, con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075.
0.307 ± 0.001 0.8 + 0.3/−0.2
Wilson y Haubrich [1976] a un número de Valores del amor k2 se infieren de las observaciones del período de oscilación de Chandler y Q asumiendo una respuesta de marea del polo oceánico de equilibrio autoconsistente, con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075.
0.308 ± 0.003 0.6 + 0.6/−0.4
Ooe [1978] a un número de Valores del amor k2 se infieren de las observaciones del período de oscilación de Chandler y Q asumiendo una respuesta de marea del polo oceánico de equilibrio autoconsistente, con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075.
0.309 ± 0.003 0.6 + 0.6/−0.4
Este papel 0.308 ± 0.035 −5.1 ± 7.1
  • a Valores del número de amor k2 se infieren de las observaciones del período de oscilación de Chandler y Q asumiendo una respuesta de marea del polo oceánico de equilibrio autoconsistente, con la amplitud de h2 = 0.6027, la fase de h2 limitado a ser idéntico al de k2y un número de amor de carga real k2′ = −0.3075.

4. Discusión

KELT-24 b tiene algunas características clave que lo convierten en un objetivo atractivo para una caracterización detallada. Específicamente, la estrella anfitriona es muy brillante, V = 8,3 mag, y el planeta es bastante masivo,. Con una masa tan alta, es interesante ver algunos indicios de que está inflado (RPAG = 1,272 ± 0,021). Sin embargo, esto no es exclusivo de este sistema, ya que muchos Júpiter calientes masivos tienen radios inflados. De todos los Júpiter calientes conocidos, KELT-24 b es uno de las pocas docenas de gigantes (METROPAG = 4-13) Júpiter calientes (PAG & lt 10 días) con una estrella anfitriona lo suficientemente brillante (V & lt 13 mag) para permitir una caracterización detallada. 61 en V = 8,3 mag, KELT-24 es el anfitrión planetario más brillante conocido en este régimen (ver Figura 8). La estrella anfitriona, KELT-24, tiene una masa de METRO =, un radio de R = 1,506 ± 0,022 y una edad de Gyr. Es la estrella más brillante conocida por albergar un planeta gigante en tránsito con un período de entre 5 y 10 días, y uno de los planetas de período más largo descubiertos a partir de estudios terrestres. Curiosamente, HAT-P-2b (Bakos et al.2007) es bastante similar a KELT-24 b en que tienen casi el mismo período orbital (5,63 días en comparación con 5,55 días), masas planetarias similares (9,0 METROJ en comparación con 5.2 METROJ), y ambas estrellas anfitrionas que son muy brillantes (HAT-P-2 es V = 8,7 mag). La edad relativamente joven de KELT-24 sugiere que acaba de comenzar a evolucionar a partir de la secuencia principal de edad cero, lo cual es consistente con nuestro análisis UVW (ver Sección 2.7).

Figura 8. Distribución de la masa del planeta y el período orbital para la población conocida de velocidad radial solamente (gris) y Júpiter calientes en tránsito (coloreados por magnitud óptica). El tamaño del círculo se escala por el brillo aparente de la estrella anfitriona. El círculo relleno representa la ubicación de KELT-24 b. Solo mostramos sistemas que tienen un 3σ o mejor medición de la masa del planeta. La línea discontinua horizontal es el límite inferior (4) del régimen masivo de Júpiter calientes que discutimos en la Sección 4. Los datos detrás de esta figura se descargaron de la tabla compuesta en UT 2019 Mayo 07 del Archivo de Exoplanetas de la NASA (Akeson et al. 2013 ).

Detectamos un 3 pequeño distinto de ceroσ excentricidad de la órbita de KELT-24 b. Sin embargo, los sistemas observados con pequeñas excentricidades (& lt0.1) están sujetos al sesgo de Lucy-Sweeney, donde los errores de observación de una órbita circular pueden conducir a la detección de una ligera excentricidad (Lucy & amp Sweeney 1971). Por lo tanto, advertimos al lector sobre la detección de la excentricidad, aunque se detecte en un nivel de confianza formalmente significativo. Observamos que esta excentricidad no solo se vio limitada por las observaciones espectroscópicas de TRES (consulte la Sección 2.3) sino también por las observaciones de tránsito de KELT-FUN (es decir, la duración del tránsito), porque todas están modeladas globalmente con EXOFASTv2 (consulte la Sección 3 ). Debido a que la excentricidad es bastante pequeña y no concluyente, usamos la Ecuación (3) de Adams & amp Laughlin (2006) para aproximar la escala de tiempo de circularización de KELT-24 b a 12.7 Gyr (asumiendo Q = 10 6). Esta escala de tiempo de circularización no cambia significativamente cuando se tiene en cuenta la pequeña excentricidad detectada. Dado que la edad de KELT-24 es significativamente menor que la escala de tiempo de circularización, no asumimos que la excentricidad sea cero en nuestro análisis global. Las observaciones futuras deberían confirmar esta excentricidad distinta de cero obteniendo RV adicionales de mayor precisión y / o observando el eclipse secundario de KELT-24 b. La diferencia de tiempo entre el eclipse secundario que asume una excentricidad cero y uno que usa e = 0.078 de nuestros resultados es de aproximadamente 3.5 horas. Las observaciones de eclipses futuros deberían tener esto en cuenta al programar las observaciones de eclipses. KELT-24 tiene una velocidad de rotación proyectada de 19,46 ± 0,18 km s −1, correspondiente a un período de rotación de 3,9 días. Dado que este es más corto que el período orbital de KELT-24 b, no esperamos que el planeta esté sincronizado con las mareas.

4.1. Evolución de las mareas e historial de irradiación

Calculamos la evolución orbital pasada y futura de la órbita de KELT-24 b bajo la influencia de las mareas, utilizando el código POET (Penev et al. 2014). Calculamos la evolución del semieje mayor orbital (ver Figura 9) bajo los supuestos de un desfase de marea constante (o factor de calidad de marea constante), órbita circular y sin perturbaciones debido a objetos adicionales no detectados en el sistema. Bajo estos supuestos, las mareas que levanta la estrella en el planeta no tienen un efecto apreciable en la órbita, porque el momento angular que se puede almacenar / extraer del planeta es una fracción insignificante del momento angular orbital total. Como resultado, la evolución de las mareas está dominada por la disipación de las perturbaciones de las mareas en la estrella. Consideramos la evolución del radio estelar, asumiendo una pista evolutiva estelar de MIST (Choi et al. 2016 Dotter 2016) apropiada para la masa estelar y la metalicidad que mejor se ajustan a nuestro ajuste global (ver Sección 3). Finalmente, combinamos la evolución del semieje mayor orbital con la evolución de la luminosidad estelar según el mismo modelo MIST para calcular la evolución de la cantidad de irradiación recibida por el planeta (ver Figura 9). Debido a que la disipación de las mareas en las estrellas está escasamente restringida, y probablemente no se describe bien mediante un modelo simple de desfase constante, consideramos una amplia gama de desfases plausibles, parametrizados por el parámetro de disipación de las mareas de uso común (la relación del factor de calidad de las mareas Q y el número de Amor, k2).

Figura 9. La evolución del semieje mayor (arriba) y la irradiación (abajo) para KELT-24 b se muestra para un rango de valores para Q . El color de la línea indica la disipación en la estrella (verde: Q = 10 5, lavanda: Q = 10 7, oro: Q = 10 8 ).

Independientemente del factor de calidad de las mareas, llegamos a la conclusión de que el planeta siempre ha estado sujeto a un nivel de irradiación varias veces mayor que el 2 & # x00d7 10 8 erg s −1 cm −2 umbral Demory y amp Seager (2011) sugieren que es necesario para que el planeta se infle significativamente. Además, de nuevo, independientemente de la cantidad de disipación, el planeta ha experimentado como mucho una evolución orbital moderada antes de su órbita actual, casi circular. Por el contrario, el destino futuro del planeta se ve afectado significativamente por la cantidad de disipación de las mareas asumida. Para un factor de calidad de marea de, el planeta será engullido por su estrella madre dentro de unos pocos cientos de Myr, mientras que para o más el planeta sobrevive hasta el final de la secuencia principal de vida de su estrella madre.

4.2. Órbita alineada de KELT-24

La órbita alineada de KELT-24 b es interesante en el contexto de su masa, posible pequeña excentricidad y la corta edad del sistema. Hébrard y col. (2010) observaron que para los Júpiter calientes masivos, sus órbitas son típicamente progradas pero con un ángulo de desalineación distinto de cero, un patrón que todavía es válido en la actualidad (ver Figura 10). Por lo tanto, el KELT-24 b es algo inusual, ya que su desalineación de giro-órbita proyectada por el cielo λ es consistente con cero, aunque la verdadera desalineación de la órbita de giro 3D ψ podría ser más grande si la estrella anfitriona no se ve desde el ecuador. No podemos medir la inclinación del eje de rotación estelar. I utilizando nuestros datos actuales, pero un TESS la medición del período de rotación mediante modulación puntual o astrosismología podría permitir esta medición.

Figura 10. Desalineación de giro-órbita de KELT-24b en contexto con la población de Júpiter calientes de la literatura. Mostramos las desalineaciones de órbita-giro proyectadas por el cielo como una función de la masa planetaria. Los puntos rojos y azules denotan planetas que orbitan estrellas con temperaturas efectivas menores o mayores que la ruptura de Kraft a 6250 K, respectivamente, los Júpiter calientes que orbitan estrellas más frías suelen tener órbitas bien alineadas, mientras que las que orbitan estrellas más calientes como KELT-24 tienen un amplio rango. de desalineaciones (Winn 2010). Destacamos KELT-24b como la gran estrella de color rojo oscuro; las incertidumbres son más pequeñas que el tamaño del símbolo de la trama. Mostramos solo planetas con masas medidas en lugar de límites superiores e incertidumbres en las desalineaciones de giro-órbita de menos de 20 °.

Además, la corta edad de KELT-24 y su órbita alineada ligeramente excéntrica imponen algunas limitaciones a la historia pasada del sistema. Algunos de los mecanismos de migración de alta excentricidad, como el mecanismo Kozai-Lidov (Anderson et al. 2016) o las interacciones seculares planeta-planeta (Petrovich & amp Tremaine 2016) pueden tomar cientos de Myr y, por lo general, dejar planetas en órbitas muy excéntricas y desalineadas. . Junto con la larga escala de tiempo de amortiguación de las mareas para el sistema (más largo que la edad del universo), esto sugiere que KELT-24 b probablemente migró a través de un mecanismo más rápido y menos dinámicamente violento, como las interacciones con el disco protoplanetario o la formación in situ.

4.3. Perspectivas de caracterización atmosférica

Como se mencionó, KELT-24 b es uno de los pocos planetas gigantes masivos conocidos que orbitan una estrella anfitriona lo suficientemente brillante como para permitir observaciones detalladas de caracterización atmosférica. Los otros planetas comparables en este rango de masa que se han observado con cualquiera Spitzer o HST son HAT-P-2 b (Spitzer, Lewis y col. 2014), WASP-14 b (Spitzer, Wong y col. 2015), Kepler-13A b (Spitzer y HST, Beatty y col. 2017), KELT-1b (Spitzer, Beatty y col. 2019) y WASP-103b (Spitzer y HST, Kreidberg y col. 2018). Curiosamente, KELT-24 b orbita al anfitrión más brillante en este régimen y tiene la temperatura de equilibrio de cuerpo negro más baja de todos estos planetas: aproximadamente 1450 K. Esto coloca a KELT-24 b en un régimen atmosférico diferente y potencialmente interesante. Dadas las similitudes entre HAT-P-2b y KELT-24, la futura observación atmosférica KELT-24 b proporcionaría una buena comparación con las ya tomadas para HAT-P-2b.

Las observaciones de enanas marrones de campo masivo han demostrado que hay un fuerte cambio hacia el azul en los colores NIR de estos objetos a medida que se enfrían desde aproximadamente 1400 K hasta aproximadamente 1000 K. Esto se conoce como la transición "L-T", y generalmente es se cree que representan las nubes en las atmósferas de las enanas L más calientes que caen lentamente por debajo del nivel de la fotosfera en las enanas T más frías. Las pocas observaciones que tenemos de exoplanetas gigantes en este régimen indican que esta transición puede ocurrir a temperaturas más frías, presumiblemente porque la menor gravedad de la superficie de los planetas está alterando la dinámica de las nubes en sus atmósferas, lo que quizás permita que el lofting vertical mantenga las nubes más altas por más tiempo. (Triaud et al. 2015).

KELT-24 b posee una gravedad superficial intermedia, 3 veces mayor que Júpiter pero 10 veces menor que una enana marrón, que se extiende a ambos lados de las observaciones anteriores. Por lo tanto, la caracterización de las propiedades de la nube global en KELT-24 b podría permitirnos comprender mejor los procesos dinámicos detrás de la transición L – T. En particular, un análisis reciente de Spitzer resultados de la curva de fase de Beatty et al. (2019) ha demostrado que todos los Júpiter calientes parecen poseer una capa de nubes en el lado nocturno a una temperatura de aproximadamente 1000 K.La temperatura de equilibrio relativamente baja de la atmósfera de KELT-24 b indica que incluso las nubes del lado del día en KELT-24 b tendrían una composición cercana a las nubes universales del lado nocturno de otros Júpiter calientes. La medición espectroscópica de la emisión de KELT-24 b podría, por lo tanto, determinar la composición específica de estas nubes. Las composiciones de la nube, a su vez, proporcionarían información invaluable sobre los procesos de condensación de las nubes y, por lo tanto, la dinámica.


Contenido

El científico italiano Giovanni Battista Riccioli y su asistente Francesco Maria Grimaldi describieron el efecto en relación con la artillería en el 1651. Almagestum Novum, escribiendo que la rotación de la Tierra debería hacer que una bala de cañón disparada hacia el norte se desvíe hacia el este. [12] En 1674 Claude François Milliet Dechales describió en su Cursus seu Mundus Mathematicus cómo la rotación de la Tierra debería provocar una desviación en las trayectorias tanto de los cuerpos que caen como de los proyectiles dirigidos hacia uno de los polos del planeta. Riccioli, Grimaldi y Dechales describieron el efecto como parte de un argumento contra el sistema heliocéntrico de Copérnico. En otras palabras, argumentaron que la rotación de la Tierra debería crear el efecto, por lo que la falla en detectar el efecto era evidencia de una Tierra inmóvil. [13] La ecuación de aceleración de Coriolis fue derivada por Euler en 1749, [14] [15] y el efecto fue descrito en las ecuaciones de mareas de Pierre-Simon Laplace en 1778. [16]

Gaspard-Gustave Coriolis publicó un artículo en 1835 sobre el rendimiento energético de las máquinas con piezas giratorias, como las ruedas hidráulicas. [17] Ese documento consideró las fuerzas suplementarias que se detectan en un marco de referencia giratorio. Coriolis dividió estas fuerzas suplementarias en dos categorías. La segunda categoría contenía una fuerza que surge del producto cruzado de la velocidad angular de un sistema de coordenadas y la proyección de la velocidad de una partícula en un plano perpendicular al eje de rotación del sistema. Coriolis se refirió a esta fuerza como la "fuerza centrífuga compuesta" debido a sus analogías con la fuerza centrífuga ya considerada en la categoría uno. [18] [19] El efecto se conocía a principios del siglo XX como la "aceleración de Coriolis", [20] y en 1920 como "fuerza de Coriolis". [21]

En 1856, William Ferrel propuso la existencia de una celda de circulación en las latitudes medias con el aire desviado por la fuerza de Coriolis para crear los vientos predominantes del oeste. [22]

La comprensión de la cinemática de cómo afecta exactamente la rotación de la Tierra al flujo de aire fue parcial al principio. [23] A fines del siglo XIX, se comprendió el alcance total de la interacción a gran escala de la fuerza del gradiente de presión y la fuerza de desviación que al final hace que las masas de aire se muevan a lo largo de las isobaras. [24]

En la mecánica newtoniana, la ecuación de movimiento de un objeto en un sistema de referencia inercial es

Transformando esta ecuación en un marco de referencia que gira alrededor de un eje fijo a través del origen con velocidad angular ω < displaystyle < boldsymbol < omega >>> con velocidad de rotación variable, la ecuación toma la forma

Las fuerzas ficticias, tal como se perciben en el marco giratorio, actúan como fuerzas adicionales que contribuyen a la aceleración aparente al igual que las fuerzas externas reales. [25] [26] Los términos de fuerza ficticios de la ecuación son, leyendo de izquierda a derecha: [27]

Como la fuerza de Coriolis es proporcional a un producto cruzado de dos vectores, es perpendicular a ambos vectores, en este caso la velocidad del objeto y el vector de rotación del marco. Por tanto, se deduce que:

  • si la velocidad es paralela al eje de rotación, la fuerza de Coriolis es cero. (Por ejemplo, en la Tierra, esta situación ocurre para un cuerpo en el ecuador que se mueve hacia el norte o el sur en relación con la superficie de la Tierra).
  • si la velocidad es recta hacia el interior del eje, la fuerza de Coriolis está en la dirección de rotación local. (Por ejemplo, en la Tierra, esta situación ocurre para un cuerpo en el ecuador que cae hacia abajo, como en la ilustración de Dechales anterior, donde la bola que cae viaja más hacia el este que la torre).
  • si la velocidad es recta hacia afuera desde el eje, la fuerza de Coriolis está en contra de la dirección de rotación local. (En el ejemplo de la torre, una bola lanzada hacia arriba se movería hacia el oeste).
  • si la velocidad está en la dirección de rotación, la fuerza de Coriolis es hacia afuera desde el eje. (Por ejemplo, en la Tierra, esta situación ocurre para un cuerpo en el ecuador que se mueve hacia el este en relación con la superficie de la Tierra. Se movería hacia arriba como lo ve un observador en la superficie. Este efecto (ver el efecto Eötvös más abajo) fue discutido por Galileo Galilei en 1632 y Riccioli en 1651. [29])
  • si la velocidad es contraria a la dirección de rotación, la fuerza de Coriolis es hacia el interior del eje. (En la Tierra, esta situación ocurre para un cuerpo en el ecuador que se mueve hacia el oeste, lo que se desviaría hacia abajo cuando lo vea un observador).

Las escalas de tiempo, espacio y velocidad son importantes para determinar la importancia de la fuerza de Coriolis. Si la rotación es importante en un sistema se puede determinar por su número de Rossby, que es la razón de la velocidad, U, de un sistema al producto del parámetro de Coriolis, f = 2 ω sin ⁡ φ < displaystyle f = 2 omega sin varphi ,>, y la escala de longitud, L, de la moción:

El número de Rossby es la relación entre la inercia y las fuerzas de Coriolis. Un número de Rossby pequeño indica que un sistema está fuertemente afectado por las fuerzas de Coriolis, y un número de Rossby grande indica un sistema en el que dominan las fuerzas de inercia. Por ejemplo, en los tornados, el número de Rossby es grande, en los sistemas de baja presión es bajo y en los sistemas oceánicos es alrededor de 1. Como resultado, en los tornados la fuerza de Coriolis es insignificante y el equilibrio es entre la presión y las fuerzas centrífugas. . En los sistemas de baja presión, la fuerza centrífuga es insignificante y el equilibrio es entre Coriolis y las fuerzas de presión. En los océanos, las tres fuerzas son comparables. [30]

Un sistema atmosférico que se mueve a U = 10 m / s (22 mph) ocupando una distancia espacial de L = 1.000 km (621 mi), tiene un número de Rossby de aproximadamente 0,1.

Un lanzador de béisbol puede lanzar la pelota a U = 45 m / s (100 mph) a una distancia de L = 18,3 m (60 pies). El número de Rossby en este caso sería 32.000.

A los jugadores de béisbol no les importa en qué hemisferio están jugando. Sin embargo, un misil no guiado obedece exactamente a la misma física que una pelota de béisbol, pero puede viajar lo suficientemente lejos y estar en el aire el tiempo suficiente para experimentar el efecto de la fuerza de Coriolis. Los proyectiles de largo alcance en el hemisferio norte aterrizaron cerca, pero a la derecha de, donde apuntaban hasta que se notó. (Los disparados en el hemisferio sur aterrizaron a la izquierda). De hecho, fue este efecto el que primero llamó la atención del propio Coriolis. [31] [32] [33]

Bola lanzada en un carrusel giratorio Editar

La figura ilustra una pelota lanzada desde las 12:00 en punto hacia el centro de un carrusel giratorio en sentido antihorario. A la izquierda, la pelota es vista por un observador estacionario sobre el carrusel, y la pelota viaja en línea recta hacia el centro, mientras que el lanzador gira en sentido antihorario con el carrusel. A la derecha, un observador ve la pelota que gira con el carrusel, por lo que el lanzador parece quedarse a las 12:00 en punto. La figura muestra cómo se puede construir la trayectoria de la pelota vista por el observador giratorio.

A la izquierda, dos flechas ubican la pelota en relación con el lanzador. Una de estas flechas va del lanzador al centro del carrusel (proporcionando la línea de visión del lanzador de la pelota), y las otras apuntan desde el centro del carrusel a la pelota. (Esta flecha se acorta a medida que la pelota se acerca al centro). Una versión desplazada de las dos flechas se muestra con puntos.

A la derecha se muestra este mismo par de flechas punteadas, pero ahora el par se gira rígidamente de modo que la flecha correspondiente a la línea de visión del lanzador de la pelota hacia el centro del carrusel esté alineada con las 12:00 en punto. La otra flecha del par ubica la bola en relación con el centro del carrusel, proporcionando la posición de la bola vista por el observador giratorio. Siguiendo este procedimiento para varias posiciones, la trayectoria en el marco de referencia giratorio se establece como lo muestra la trayectoria curva en el panel de la derecha.

La pelota viaja en el aire y no hay fuerza neta sobre ella. Para el observador estacionario, la pelota sigue una trayectoria en línea recta, por lo que no hay problema en cuadrar esta trayectoria con fuerza neta cero. Sin embargo, el observador rotatorio ve un curvo camino. La cinemática insiste en que una fuerza (que empuja al derecho de la dirección instantánea de viaje para un en sentido anti-horario rotación) debe estar presente para causar esta curvatura, por lo que el observador giratorio se ve obligado a invocar una combinación de fuerzas centrífugas y de Coriolis para proporcionar la fuerza neta requerida para causar la trayectoria curva.

Pelota rebotada Editar

La figura describe una situación más compleja en la que la pelota lanzada en un plato giratorio rebota en el borde del carrusel y luego regresa al lanzador, quien atrapa la pelota. El efecto de la fuerza de Coriolis en su trayectoria se muestra nuevamente como lo ven dos observadores: un observador (denominado "cámara") que gira con el carrusel y un observador inercial. La figura muestra una vista de pájaro basada en la misma velocidad de la bola en las trayectorias de avance y retorno. Dentro de cada círculo, los puntos trazados muestran los mismos puntos de tiempo. En el panel izquierdo, desde el punto de vista de la cámara en el centro de rotación, el lanzador (cara sonriente) y el riel están en ubicaciones fijas, y la bola hace un arco muy considerable en su recorrido hacia el riel, y toma un rumbo más directo. ruta en el camino de regreso. Desde el punto de vista del lanzador de la pelota, la pelota parece regresar más rápido de lo que fue (porque el lanzador está girando hacia la pelota en el vuelo de regreso).

En el carrusel, en lugar de lanzar la pelota directamente a una barandilla para rebotar, el lanzador debe lanzar la pelota hacia la derecha del objetivo y, a continuación, la pelota parece que la cámara se desplaza continuamente hacia la izquierda de su dirección de desplazamiento para golpear. el carril (izquierda porque el carrusel esta girando agujas del reloj). La bola parece desplazarse hacia la izquierda desde la dirección de desplazamiento en las trayectorias de ida y vuelta. La trayectoria curva exige que este observador reconozca una fuerza neta hacia la izquierda sobre la pelota. (Esta fuerza es "ficticia" porque desaparece para un observador estacionario, como se analiza brevemente). Para algunos ángulos de lanzamiento, una trayectoria tiene partes donde la trayectoria es aproximadamente radial, y la fuerza de Coriolis es la principal responsable de la desviación aparente de la bola (la fuerza centrífuga es radial desde el centro de rotación y causa poca deflexión en estos segmentos). Sin embargo, cuando una trayectoria se curva alejándose del radial, la fuerza centrífuga contribuye significativamente a la deflexión.

La trayectoria de la pelota a través del aire es recta cuando la ven los observadores que están en el suelo (panel derecho). En el panel derecho (observador estacionario), el lanzador de la pelota (cara sonriente) está a las 12 en punto y la barandilla desde la que la pelota rebota está en la posición 1. Desde el punto de vista del espectador inercial, las posiciones 1, 2 y 3 están ocupadas en secuencia. En la posición 2 la pelota golpea la banda y en la posición 3 la pelota regresa al lanzador. Se siguen trayectorias en línea recta porque la pelota está en vuelo libre, por lo que este observador requiere que no se aplique fuerza neta.

La fuerza que afecta el movimiento del aire "deslizándose" sobre la superficie de la Tierra es el componente horizontal del término de Coriolis.

Este componente es ortogonal a la velocidad sobre la superficie de la Tierra y viene dado por la expresión

En el hemisferio norte, donde el signo es positivo, esta fuerza / aceleración, como se ve desde arriba, está a la derecha de la dirección del movimiento, en el hemisferio sur, donde el signo es negativo, esta fuerza / aceleración está a la izquierda de la dirección de movimiento. movimiento

Esfera giratoria Editar

Considere una ubicación con latitud φ en una esfera que gira alrededor del eje norte-sur. [34] Se configura un sistema de coordenadas local con el X eje horizontal hacia el este, el y eje horizontal hacia el norte y el z eje vertical hacia arriba. El vector de rotación, la velocidad de movimiento y la aceleración de Coriolis expresados ​​en este sistema de coordenadas local (enumerando los componentes en el orden este (mi), norte (norte) y hacia arriba (tu)) están:

Al considerar la dinámica atmosférica u oceánica, la velocidad vertical es pequeña y la componente vertical de la aceleración de Coriolis es pequeña en comparación con la aceleración debida a la gravedad. Para tales casos, solo importan los componentes horizontales (este y norte). La restricción de lo anterior al plano horizontal es (ajuste vtu = 0):

Configurando vnorte = 0, se puede ver inmediatamente que (para φ y ω positivos) un movimiento hacia el este da como resultado una aceleración hacia el sur. Del mismo modo, el establecimiento vmi = 0, se ve que un movimiento hacia el norte da como resultado una aceleración hacia el este. En general, observado horizontalmente, mirando a lo largo de la dirección del movimiento que provoca la aceleración, la aceleración siempre se gira 90 ° a la derecha y del mismo tamaño independientemente de la orientación horizontal.

Como caso diferente, considere el ajuste de movimiento ecuatorial φ = 0 °. En este caso, Ω es paralelo al norte o norte-eje y:

En consecuencia, un movimiento hacia el este (es decir, en la misma dirección que la rotación de la esfera) proporciona una aceleración hacia arriba conocida como efecto Eötvös, y un movimiento hacia arriba produce una aceleración hacia el oeste.


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Expresiones de gratitud

Los datos de registro de presión de fondo utilizados en este estudio están disponibles como información de apoyo para Rayo [2013] en http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgrc.20336/suppinfo. SDD realizó el trabajo descrito en este documento en el Laboratorio de Propulsión a Chorro del Instituto de Tecnología de California bajo contrato con la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio. RDR fue apoyado por el proyecto de topografía de superficie oceánica de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio.

El Editor agradece a dos revisores anónimos su ayuda en la evaluación de este artículo.


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