Astronomía

Gravedad instantánea en la ecuación de movimiento para el cálculo de efemérides

Gravedad instantánea en la ecuación de movimiento para el cálculo de efemérides


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La ecuación de movimiento utilizada para el cálculo de las órbitas de los objetos del sistema solar (Eq (27) en https://ipnpr.jpl.nasa.gov/progress_report/42-196/196C.pdf) se formula en términos de variables instantáneas, que es la aceleración de un objeto se supone que depende de la instantáneo posiciones, velocidades y aceleraciones de todos los demás objetos del sistema solar (esto me lo han confirmado los autores de esta publicación). ¿No significaría esto que la información viaja infinitamente rápido y, por tanto, contradice la relatividad?


La respuesta corta es "no".

Puedo modelar la gravedad mediante la ley de gravitación de Newton y da resultados extremadamente precisos en la mayoría de las situaciones. Aunque es una aproximación al modelo de gravedad más preciso de la Relatividad General, es lo suficientemente preciso como para predecir la ubicación de los planetas lo suficientemente bien para la mayoría de los propósitos.

Los modelos reales utilizados se basan en las leyes de Kepler (que pueden derivarse de la ley de Newton con dos fuentes puntuales de gravedad) + perturbaciones (interacciones con otros cuerpos, efectos de cuerpos no esféricos y efectos relativistas). Sin embargo, en lugar de intentar resolver la relatividad general completa del sistema solar, los efectos relativistas se tratan como una perturbación de las órbitas newtonianas.

La relatividad general no se usa ingenuamente, ya que es difícil de entender. La solución numérica directa de las ecuaciones del espacio-tiempo en las proximidades del sol lleva demasiado tiempo y no ofrece respuestas sustancialmente mejores.

Elegimos un modelo porque predice útilmente algún aspecto de la realidad. Pero espero que sea obvio que la elección del modelo no cambia la realidad. Si elijo un modelo que descuida la fricción, la flexión o algún otro aspecto, eso no significa que la fricción no exista, solo que mi modelo puede ser algo menos preciso que un modelo más complejo que sí incorpora estos aspectos.

El hecho de que un modelo del sistema solar se base en las posiciones instantáneas de los planetas no significa que la relatividad esté equivocada, simplemente que la relatividad (en todos sus detalles) no es necesaria para predecir las posiciones de los planetas en los próximos miles. años, con más precisión de la que jamás necesitará.

Vale la pena señalar que en sistemas gravitacionales como el sistema solar (con una gravedad bastante débil en comparación con los agujeros negros) la gravedad newtoniana instantánea es en realidad un modelo mucho mejor de la relatividad general que la "gravedad newtoniana retardada por el tiempo de la luz". Es un modelo mejor en el sentido de que sus predicciones están mucho más cerca de la realidad. Cuando introduces la Relatividad General y la gravedad actúa a la velocidad de la luz, hay otros términos que casi (pero no del todo) cancelan el efecto de una velocidad finita de la luz, por lo que casi (pero no del todo) parece como si la gravedad actuara instantáneamente.


¿No significaría esto que la información viaja infinitamente rápido y, por tanto, contradice la relatividad?

Mire más de cerca la ecuación 27 en el documento de referencia. Simplificaré esto como $$ boldsymbol { mathrm a} = left ( sum_ {B ne A} frac {GM_B , ( boldsymbol { mathrm r} _B - boldsymbol { mathrm r} _A)} {r_ { AB} ^ {, 3}} Bigl (1 + text {otros términos} Bigr) right) + text {otro término} + text {otro término} $$

Suponiendo la gravedad newtoniana, los "otros términos", "otro término" y "otro término más" desaparecen, simplificando la ecuación a $$ boldsymbol { mathrm a} = left ( sum_ {B ne A} frac {GM_B , ( boldsymbol { mathrm r} _B - boldsymbol { mathrm r} _A)} {r_ { AB} ^ {, 3}} Bigl (1 + 0 Bigr) right) + boldsymbol { mathrm 0} + boldsymbol { mathrm 0} $$ o solo $$ boldsymbol { mathrm a} = sum_ {B ne A} frac {GM_B , ( boldsymbol { mathrm r} _B - boldsymbol { mathrm r} _A)} {r_ {AB} ^ {, ​​3}} $$

Todos esos términos adicionales en la ecuación 27 en el documento de referencia se deben a una linealización de la relatividad general asumiendo que las distancias son muy grandes en comparación con el radio de Schwarzschild del Sol y que las velocidades son muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz.


Esta excelente respuesta a Además de la gravitación retardada, ¿hay algo más de qué preocuparse al calcular la órbita del MU69 desde cero? en Space Exploration SE explica que obtenemos la respuesta incorrecta si se usa la mecánica puramente newtoniana, excepto para disminuir la velocidad de la gravedad, pero eso es porque uno no está tratando la gravedad correctamente ni usando la mecánica newtoniana correctamente.

Muchas respuestas a ¿Cómo calcular los planetas y las lunas más allá de la fuerza gravitacional de Newton? incluir una forma de tratar este problema utilizando un método bien aceptado tratamiento aproximado de la relatividad general.

De esta respuesta:

La aceleración de un cuerpo en el campo de gravitación de otro cuerpo de parámetro gravitacional estándar. $ GM $ puede ser escrito:

$$ mathbf {a_ {Newton}} = -GM frac { mathbf {r}} {| r | ^ 3}, $$

dónde $ r $ es el vector del cuerpo $ M $ al cuerpo cuya aceleración se está calculando. Recuerde que en la mecánica newtoniana la aceleración de cada cuerpo depende solo de la masa de el otro cuerpo, aunque la fuerza depende de ambas masas, porque la primera masa se cancela por $ a = F / m $.

y después:

La siguiente aproximación debe ser añadido a el término newtoniano:

$$ mathbf {a_ {GR}} = GM frac {1} {c ^ 2 | r | ^ 3} left (4 GM frac { mathbf {r}} {| r |} - ( mathbf {v} cdot mathbf {v}) mathbf {r} + 4 ( mathbf {r} cdot mathbf {v}) mathbf {v} right), $$


Las correcciones de la fuerza gravitacional debido a la velocidad de propagación finita son mucho más pequeñas de lo que cabría esperar.

Esto se debe a un par de razones. Primero, el campo gravitacional de un cuerpo en movimiento uniforme no se queda atrás de su movimiento, lo que violaría el principio de relatividad. Si empuja un objeto semirrígido a través del aire a una velocidad constante, las partes que no está empujando se doblarán y quedarán rezagadas, pero eso es solo por la fuerza del viento. Si prueba lo mismo en el vacío donde no hay viento, no tendrá que ejercer ninguna fuerza con el dedo para mantener el objeto en movimiento y volverá a su forma preferida.

En segundo lugar, todo se ve afectado por igual por la gravedad, incluido el propio campo gravitacional. Entonces, cuando un grupo de cuerpos se acelera bajo su influencia gravitacional mutua, sus campos gravitacionales se aceleran junto con ellos, sin que la masa central "les diga" que lo hagan.

La velocidad finita de la gravedad a menudo se puede descuidar porque el campo es muy bueno para adivinar dónde debería estar, especialmente cuando las fuentes del campo se mueven solo bajo la influencia de la gravedad.


7.3: Resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad

  • Contribución de Jeremy Tatum
  • Profesor emérito (Física y Astronomía) en la Universidad de Victoria

Notación: ( bf V ) es la velocidad, (V ) es la rapidez. Las componentes horizontal y vertical de la velocidad son, respectivamente, (u = dot = V cos psi ) y (v = dot = V sen psi ). Aquí ( psi ) es el ángulo que forma la velocidad instantánea ( bf V ) con la horizontal. La fuerza resistiva por unidad de masa es (kV ^ <2> ). Las componentes horizontal y vertical de la fuerza resistiva por unidad de masa son (kV ^ <2> cos psi ) y (kV ^ <2> sen psi ) respectivamente. La velocidad de lanzamiento es (V_ <0> ) y el ángulo de lanzamiento (es decir, el valor inicial de ( psi )) es ( alpha ). La distancia recorrida desde el punto de lanzamiento, medida a lo largo de la trayectoria, es (s ) y la velocidad (V = dot). Las ecuaciones de movimiento son:

Estos no pueden integrarse tan convenientemente como en los casos anteriores, pero podemos obtener una relación simple entre el componente horizontal (u ) de la velocidad y la coordenada intrínseca (s ). Por lo tanto, cuando hacemos uso de ( ddot= punto), (V = punto) y (Vcos psi = u ), Ecuación ( ref) toma la forma

La integración, con la condición inicial (u = V_ <0> cos theta ), produce

También podemos obtener un explícito exacto ecuación intrínseca a la trayectoria teniendo en cuenta el normal Ecuación de movimiento.

La ecuación intrínseca a cualquier curva es una relación entre el coordenadas intrínsecas ( (s ), ( psi )). La velocidad a la que cambia el ángulo de pendiente ( psi ) a medida que se mueve a lo largo de la curva, es decir, ( frac), se llama curvatura en un punto a lo largo de la curva. Si la pendiente aumenta con (s ), la curvatura es positiva. El recíproco de la curvatura en un punto, ( frac), es el radio de curvatura en el punto, denotado aquí por ( rho ).

La normal La ecuación de movimiento es la ecuación (F = ma ) aplicada en una dirección normal a la curva. La aceleración apropiada aquí es la aceleración centrípeta ( frac> < rho> ) o (V ^ <2> frac).

En una dirección normal al movimiento, la resistencia del aire no tiene componente y la gravedad tiene un componente (& minusg cos theta ). (Es menos porque la curvatura es claramente negativa.) La ecuación normal de movimiento es por lo tanto

Separe las variables e integre, con las condiciones iniciales adecuadas:

A partir de aquí, es una buena práctica de integración mostrar que la ecuación intrínseca es

Esta ecuación tiene la forma

[ sec psi tan psi + ln left ( sec psi + tan psi right) = A - Be ^ <2ks>. etiqueta <7.3.10> etiqueta ]

Si bien ahora sería sencillo calcular (s ) como una función de ( psi ) y, por lo tanto, trazar una gráfica de (s ) frente a ( psi ), realmente queremos mostrar ( y ) en función de (x ), y (x ) y (y ) en función del tiempo. Estoy en deuda con Dario Bruni de Italia por el siguiente análisis.

Sea ( (x_ <1> ) , (y_ <1> )) sea un punto en la trayectoria. Cuando el proyectil se mueva una distancia corta ( Delta s ), las nuevas coordenadas serán ( (x_ <2> ), (x_ <2> )), donde

siempre que se considere que ( Delta s ) es lo suficientemente pequeño como para que el camino entre los dos puntos sea aproximadamente una línea recta. El cálculo comienza con (x_ <1> ) = (y_ <1> ) = 0 y ( psi ) = ( alpha ). En cada etapa del cálculo, el nuevo valor de ( psi ) se puede calcular a partir de la Ecuación ( ref). Esto se puede hacer fácilmente, por ejemplo, mediante la iteración de Newton-Raphson, ya que la derivada del lado izquierdo de esta ecuación con respecto a ( psi ) es simplemente (2 sec ^ <3> psi ) . Así, con un intervalo ( Delta s ) suficientemente pequeño, la forma de la trayectoria se puede construir punto por punto.

Si bien esto nos da la forma de la trayectoria, no nos dice nada sobre el tiempo. Para hacer esto, podemos escribir las ecuaciones de movimiento, ecuaciones ( ref) y ( ref) en las formas

Sea ( (x_ <1> ) , (y_ <1> )) sea un punto en la trayectoria. Después de poco tiempo ( Delta t ), las nuevas coordenadas serán ( (x_ <2> ) , (y_ <2> )), donde

siempre que se considere que ( Delta t ) es lo suficientemente pequeño como para que la aceleración entre los dos instantes de tiempo sea aproximadamente constante. Además, las nuevas componentes de la velocidad vienen dadas por

El cálculo comienza con

( punto= V_ <0> cos alpha, quad dot= V_ <0> sin alpha, quad ddot= -kV_ <0> ^ <2> cos alpha, quad ddot= -g-kV_ <0> ^ <2> sin alpha )

y después de cada incremento ( Delta t ) se calculan las nuevas coordenadas y componentes de velocidad y aceleración. Los resultados de los cálculos de Sr Bruni & rsquos se muestran en la Figura VII.3 para

(k ) = 0.0177m -1, (V_ <0> ) = 90.5ms -1, ( alpha ) = 60 (^ < circ> ), (g ) = 9.8 ms -2

Trazado con el método paso a paso de la ecuación intrínseca con ( Delta s )= 0,025 m. Alcance horizontal 79,0 m altura máxima 62,4 m. Duración total del vuelo 7,1 segundos. El tiempo necesario para alcanzar la altura máxima es de 2,8 segundos, por lo que el tiempo de descenso es mayor que el tiempo de ascenso.

Ambrose Okune, de Uganda, ha ofrecido un enfoque alternativo. En el análisis de Okune & rsquos, obtiene expresiones explícitas para (t ), (x ) y (y ) en términos del ángulo ( psi ). (En la ecuación ( ref) ya tenemos una relación entre (s ) y ( psi ).)

Comenzamos con la Ecuación ( ref), la ecuación de movimiento horizontal

Ahora ( ddot= punto), (V = sqrt+ v ^ <2>> ) y (V cos psi = u ) de modo que

Del mismo modo, la ecuación ( ref), la ecuación vertical de movimiento, es

y, con ( ddot= punto), (V = sqrt+ v ^ <2>> ) y (V sin psi = v ), esto se convierte en

También (v ) = (u tan psi ) de modo que

En comparación de ecuaciones ( ref) y ( ref), vemos eso

Tras la sustitución de (v ) = (u tan psi ) esto se convierte en

Tras la integración, obtenemos

Por tanto, ahora tenemos las componentes de la velocidad explícitamente en términos del ángulo y. Por simplicidad, escribamos

[ lambda = A- ln ( sec psi + tan psi) - sec psi tan psi. etiqueta <7.3.31> etiqueta]

Entonces las ecuaciones para los componentes de la velocidad son

En el límite, cuando (u rightarrow0 ), ( psi rightarrow-90 ^ < circ> ), (y rightarrow- infty ), el movimiento se acerca a una asíntota vertical. Como ( psi rightarrow-90 ^ < circ> ), ( lambda rightarrow-sec psi tan psi ) y por lo tanto ( lim _ < psi rightarrow-90 ^ < circ> > frac< sqrt < lambda >> = - 1 ). Por tanto, el valor límite de la componente vertical de la velocidad es (- sqrt < frac> ). Esto concuerda precisamente con lo que cabría esperar de un cuerpo que cae verticalmente a una velocidad terminal, con una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad (ver Ecuación 6.4.5).

Ahora nuestro objetivo es encontrar una expresión que relacione ( psi ) con (t ), lo que hacemos al señalar que

La derivada ( frac

) se puede encontrar a partir de la ecuación de movimiento horizontal ( ddot= -kV ^ <2> cos psi ), que se puede escribir (porque (u = V ) y ( ddot= punto)) como ( dot= -ku ^ <2> seg psi ). Luego, haciendo uso de la Ecuación ( ref), obtenemos

La derivada ( frac) se puede encontrar en la Ecuación ( ref) y es

La derivada ( frac) se puede encontrar en la Ecuación ( ref) y es

Así, la relación que buscamos es

Si el movimiento inicial del proyectil en el tiempo cero forma un ángulo ( alpha ) con la horizontal, entonces la integración de la ecuación ( ref) da la siguiente expresión para el tiempo posterior (t ) cuando el movimiento forma un ángulo ( psi ) con la horizontal.

También (u ) = ( frac

) = ( frac) ( frac
). Con (u ) y ( frac
) dado respectivamente por las ecuaciones ( ref) y ( ref), obtenemos

a partir del cual podemos calcular (x ) en función de ( psi ):

Además, (v ) = ( frac

) = ( frac frac
). Con (v ) y ( frac
) dado respectivamente por las ecuaciones ( ref) y ( ref), obtenemos

a partir del cual podemos calcular (y ) en función de ( psi ):

Ecuaciones ( ref), ( ref) y ( ref) nos permite calcular (t ), (x ) y (y ) como una función de ( psi ), y por lo tanto calcular cualquiera de ellos en términos de cualquiera de los demás. En cada caso se requiere una integración numérica, como por la regla de Simpson & rsquos o por cuadratura gaussiana, u otro algoritmo de integración y, como siempre es el caso, se deben muestrear suficientes puntos para obtener la precisión adecuada. La integración numérica de estas ecuaciones, utilizando los datos del ejemplo anterior de Darío Bruno y rsquos, produjo la misma trayectoria (x ): (y ) calculada para la Figura VII.3 por Bruno, y la (x ): ( t ) y (y ): (t ) relaciones que se muestran en la Figura VII.4.


Gravedad instantánea en ecuación de movimiento para el cálculo de efemérides - Astronomía

Mecánica Teórica, Cinemática, Dinámica y Estática & # 39s
375 Páginas
Incluye 720 problemas resueltos con una introducción a las ecuaciones de Lagrange y la teoría hamiltoniana
Murray R. Spiegel

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En el siglo XVII, Sir Isaac Newton formuló sus ahora famosas leyes de la mecánica. Estas leyes notablemente simples sirvieron para describir y predecir los movimientos de los objetos observables en el universo, incluidos los de los planetas de nuestro sistema solar.

A principios del siglo XX se descubrió que varias conclusiones teóricas derivadas de las leyes de Newton no estaban de acuerdo con ciertas conclusiones deducidas de las teorías del electromagnetismo y los fenómenos atómicos igualmente bien fundamentados experimentalmente. Estas discrepancias llevaron a la mecánica relativista de Einstein, que revolucionó los conceptos de espacio y tiempo, y a la mecánica cuántica. Para los objetos que se mueven con velocidades mucho menores que la de la luz y que tienen dimensiones grandes comparadas con las de los átomos y moléculas, la mecánica newtoniana, también llamada mecánica clásica, es sin embargo bastante satisfactoria. Por eso ha mantenido su importancia fundamental en la ciencia y la ingeniería.

El propósito de este libro es presentar una descripción de la mecánica newtoniana y sus aplicaciones. El libro está diseñado para su uso como complemento de todos los libros de texto estándar actuales o como libro de texto para un curso formal de mecánica. También debe resultar útil a los estudiantes que cursen cursos de física, ingeniería, matemáticas, astronomía, mecánica celeste, aerodinámica y en general cualquier campo que necesite en su formulación los principios básicos de la mecánica.

Cada capítulo comienza con una declaración clara de definiciones, principios y teoremas pertinentes junto con material ilustrativo y descriptivo. A esto le siguen conjuntos graduados de problemas resueltos y complementarios. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, poner de relieve los puntos finos sin los cuales el estudiante se siente continuamente en un terreno inseguro y proporcionar la repetición de principios básicos tan vitales para un aprendizaje eficaz. En los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y derivaciones de resultados básicos. La gran cantidad de problemas complementarios con respuestas sirven como una revisión completa del material de cada capítulo.

Los temas cubiertos incluyen la dinámica y estática de una partícula, sistemas de partículas y cuerpos rígidos. Los métodos vectoriales, que se prestan tan fácilmente a la notación concisa y a las interpretaciones geométricas y físicas, se introducen al principio y se utilizan a lo largo del libro. En el primer capítulo se proporciona una descripción de los vectores y puede estudiarse al principio o mencionarse cuando surja la necesidad. Las características adicionales son los capítulos sobre las ecuaciones de Lagrange y la teoría hamiltoniana que proporcionan otras formulaciones equivalentes de la mecánica newtoniana y que son de gran valor práctico y teórico.

Capítulo 1 VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Mecánica, cinemática, dinámica y estática. Fundamentos axiomáticos de la mecánica. Modelos matemáticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vectores. Álgebra vectorial. Leyes del álgebra vectorial. Vectores unitarios. Vectores unitarios rectangulares. Componentes de un vector. Producto escalar o escalar. Producto cruzado o vectorial. Productos triples. Derivadas de vectores. Integrales de vectores. Velocidad. Aceleración. Velocidad y aceleración relativas. Aceleración tangencial y normal. Movimiento circular. Notación para derivadas de tiempo. Gradiente, divergencia y rizo. Integrales de línea. Independencia del camino. Vectores libres, deslizantes y acotados.

Capítulo 2 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON. TRABAJO, ENERGÍA E IMPULSO 33
Leyes de Newton. Definiciones de fuerza y ​​masa. Unidades de fuerza y ​​masa. Marcos de referencia inerciales. Movimiento absoluto. Trabaja. Energía. Energía cinética. Campos de fuerza conservadores. Energía potencial o potencial. Conservacion de energia. Impulso. Par y momento angular. Conservación de momento. & bull Conservación del momento angular. Fuerzas no conservadoras. Estático o equilibrio de una partícula. Estabilidad del equilibrio.

Capítulo 6 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DE CUERPOS Y PROYECTILES
Campos de fuerza uniformes. Movimiento uniformemente acelerado. Peso y aceleración por gravedad. Sistema gravitacional de unidades. Asunción de una tierra plana. Cuerpos que caen libremente. Proyectiles. Energía potencial y potencial en un campo de fuerza uniforme. Movimiento en un medio resistente. Aislar el sistema. Movimiento restringido. Fricción. Estáticos en un campo gravitacional uniforme.

Capítulo 4 EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Y EL PÉNDULO SIMPLE 86
El oscilador armónico simple. Amplitud, período y frecuencia del movimiento armónico simple. Energía de un oscilador armónico simple. El oscilador armónico amortiguado. Movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado y poco amortiguado. Vibraciones forzadas. Resonancia. El péndulo simple. El oscilador armónico bidimensional y tridimensional.

Capítulo 5 FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO 116
Fuerzas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerza centrales. Ecuaciones de movimiento de una partícula en un campo central. Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones de movimiento. Energía potencial de una partícula en un campo central. Conservacion de energia. Determinación de la órbita a partir de la fuerza central. Determinación de la fuerza central desde la órbita. Secciones cónicas, elipse, parábola e hipérbola. Algunas definiciones en astronomía. Leyes de Kepler del movimiento planetario. Ley universal de gravitación de Newton. Atracción de esferas y otros objetos. Movimiento en un campo de cuadrado inverso.

Capítulo 6 SISTEMAS DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO 144
Sistemas de coordenadas no inerciales. Sistemas de coordenadas rotativos. Operadores derivados. Velocidad en un sistema en movimiento. Aceleración en un sistema en movimiento. Coriolis y aceleración centrípeta. Movimiento de una partícula con respecto a la tierra. Coriolis y fuerza centrípeta. Moviendo sistemas de coordenadas en general. El péndulo de Foucault.

Capítulo 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS 165
Sistemas discretos y continuos. Densidad. Cuerpos rígidos y elásticos. Grados de libertad. Centro de masa. Centro de gravedad. Momento de un sistema de partículas. Movimiento del centro de masa. Conservación de momento. Momento angular de un sistema de partículas. Par externo total que actúa sobre un sistema. Relación entre el momento angular y el par externo total. Conservación del momento angular. Energía cinética de un sistema de partículas. Trabaja. Energía potencial. Conservacion de energia. Movimiento relativo al centro de masa. Impulso. Restricciones. Restricciones holonómicas y no holonómicas. Desplazamientos virtuales. Estática de un sistema de partículas. Principio de trabajo virtual. Equilibrio en campos conservadores. Estabilidad del equilibrio. Principio de D & # 39Alembert & # 39s.

Capítulo 8 APLICACIONES A SISTEMAS VIBRANTES, COHETES Y COLISIONES 194
Sistemas vibrantes de partículas. Problemas relacionados con el cambio de masa. Cohetes. Colisiones de partículas. Sistemas continuos de partículas. La cuerda vibrante. Problemas de valores en la frontera. Series de Fourier. Funciones pares e impares. Convergencia de las series de Fourier.

Capítulo 9 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RÍGIDOS 224
Cuerpos rígidos. Traducciones y rotaciones. Teorema de Euler. Eje de rotación instantáneo. Grados de libertad. Movimiento general de un cuerpo rígido. Teorema de Chasle. Movimiento plano de un cuerpo rígido. Momento de inercia. Radio de giro. Teoremas sobre momentos de inercia. Teorema del eje paralelo. Teorema de ejes perpendiculares. Momentos especiales de inercia. Parejas. Energía cinética y momento angular alrededor de un eje fijo. Movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Principio de momento angular. Principio de conservación de la energía. Trabajo y poder. Impulso. Conservación del momento angular. El péndulo compuesto. Movimiento plano general de un cuerpo rígido. Centro instantáneo. Centrodes del espacio y del cuerpo. Estática de un cuerpo rígido. Principio de trabajo virtual y principio de D & # 39Alembert & # 39s. Principio de energía potencial mínima. Estabilidad.

Capítulo 10 MOVIMIENTO ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS 253
Movimiento general de cuerpos rígidos en el espacio. Grados de libertad. Rotación pura de cuerpos rígidos. Velocidad y velocidad angular de un cuerpo rígido con un punto fijo Momento angular. Momentos de inercia. Productos de inercia. Momento de matriz o tensor de inercia. Energía cinética de rotación. Ejes principales de inercia. Momento angular y energía cinética sobre los ejes principales. El elipsoide de la inercia. Ecuaciones de movimiento de Euler. Fuerza el movimiento libre. La línea y el plano invariables. Construcción de Poinsot. Polhode. Herpolhode. Conos de espacio y cuerpo. Cuerpos rígidos simétricos. Rotación de la tierra. Los ángulos de Euler. Velocidad angular y energía cinética en términos de ángulos de Euler. Movimiento de una peonza. Giroscopios.

Capítulo // ECUACIONES DE LAGRANGE & # 39S 282
Métodos generales de mecánica. Coordenadas generalizadas. Notación. Ecuaciones de transformación. Clasificación de sistemas mecánicos. Sistemas escleronómicos y reonómicos. Sistemas holonómicos y no holonómicos. Sistemas conservadores y no conservadores. Energía cinética. Velocidades generalizadas. Fuerzas generalizadas. Ecuaciones de Lagrange. Momentos generalizados. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holonómicos. Ecuaciones de Lagrange con fuerzas impulsivas.

Capítulo 12 TEORÍA HAMILTONIANA 311
Métodos hamiltonianos. El hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton. El hamiltoniano de los sistemas conservadores. Coordenadas cíclicas o ignorables. Espacio de fase. Teorema de Liouville. El cálculo de variaciones. Principio de Hamilton. Transformaciones canónicas o de contacto. Condición de que una transformación sea canónica. Funciones generadoras. La ecuación de Hamilton-Jacobi. Solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Caso en el que el hamiltoniano es independiente del tiempo. Integrales de fase. Variables de acción y ángulo.


Gravedad instantánea en ecuación de movimiento para el cálculo de efemérides - Astronomía

El conocimiento necesario de la precisión de la posición del satélite del Sistema de posicionamiento global (GPS) puede variar según la aplicación en particular. La aplicación al posicionamiento relativo de las ubicaciones de los receptores en el suelo para inferir el movimiento de la placa tectónica de la Tierra requiere el conocimiento más preciso de las órbitas de los satélites GPS. La investigación dirigida a mejorar y evaluar la precisión de las órbitas de los satélites GPS se llevó a cabo en el Centro de Investigación Espacial (CSR) de la Universidad de Texas. Comprender y modelar las fuerzas que actúan sobre los satélites fue uno de los principales objetivos de la investigación. También se investigaron otros aspectos de la determinación de la órbita, como el marco de referencia, el sistema de tiempo, el modelado de medidas y la parametrización. Las fuerzas gravitacionales se modelaron mediante versiones truncadas de los campos gravitatorios existentes, como el Modelo Goddard de la Tierra (GEM-L2), GEM-T1, TEG-2 y las perturbaciones del tercer cuerpo debidas al Sol y la Luna. Las fuerzas no gravitacionales consideradas fueron la presión de la radiación solar y las perturbaciones debidas a la ventilación térmica y al desequilibrio térmico. En el nivel de precisión de la órbita del satélite GPS requerido para las aplicaciones dinámicas de la corteza, los modelos para la perturbación no gravitacional juegan un papel crítico, ya que las fuerzas gravitacionales se comprenden bien y se modelan adecuadamente para las órbitas de los satélites GPS.


2 respuestas 2

Palabras clave: tutorial de horizontes

Trabajaré con un ejemplo hasta el final e incluiré el resultado exacto que debe obtener para que pueda verificar sus resultados.

Luego, puede cambiar un elemento a la vez para obtener el resto de las cosas que necesita.

Escribe la palabra & quotEarth & quot en el cuadro de búsqueda:

Busca y encuentra dos opciones. Elija & quotEarth Geocenter & quot:

Use números de código de observatorio (si los conoce) o nombres. Por ejemplo, ingrese & quot675 & quot para seleccionar el sitio principal de Palomar Mountain. O ingrese & quotpalomar & quot para obtener una lista de sitios coincidentes. Utilice & quotGeocéntrico o el código & quot500 & quot para geocéntrico. También puede ingresar códigos de ubicación no topocéntricos específicos de Horizons. Por ejemplo, utilice & quot@sol& quot para colocar al observador en el centro del sol & quot;@0& quot para seleccionar el baricentro del sistema solar, o & quotViking 1 @ 499 & quot para seleccionar el lugar de aterrizaje del Viking 1 en Marte (499). Para ver todos los sitios disponibles para un cuerpo específico, use & quot@ body & quot donde body es el ID del cuerpo. Por ejemplo, & quot@ 499 & quot mostrará todos los sitios en Marte. Consulte la documentación de Horizons para obtener más detalles sobre los códigos de ubicación del centro / observador.

& quot @ 0 & quot establecerá su origen en el baricentro del sistema solar

Necesita los seis valores para construir su vector de estado inicial: $ x, y, z, v_x, v_y, v_z $:

Haga que todas las configuraciones de opciones se vean exactamente así:

Elija HTML para que pueda verlo en su pantalla. Si te gusta, cambia a descargar / guardar

Si guarda el archivo y extrae las posiciones de la Tierra, obtiene lo siguiente. Z permanece muy cerca de cero porque el plano de referencia se establece en la eclíptica.

Si desea utilizar el ecuador medio terrestre para el plano de referencia (que es como el ecuador de la esfera celeste (declinación = 0), lo establece en el ecuador medio:


Respuestas y respuestas

Conocí al Sr. van Flandern. Un verdadero caballero. También un completo y total chiflado.

El artículo de Carlip es interesante, pero se equivoca en una cosa importante: "Poner un" retraso en el viaje de la luz "(técnicamente llamado" retraso ") en la gravedad newtoniana haría que las órbitas fueran inestables, lo que llevaría a predicciones que contradicen claramente las observaciones del Sistema Solar. , y considere además el caso en el que el sol es mucho más pesado que los otros cuerpos que uno puede ignorar su efecto gravitacional sobre el sol (pero obviamente no al revés).

En este marco, el efecto del retraso es simple. Se toma la gravedad newtoniana: g = - (GMm / r ^ 3) r, donde aqui r apunta hacia (0,0,0) y reemplaza M con lo que M era con el retardo incluido. Si la gravedad viaja en c, y estamos midiendo g desde la tierra, reemplazamos M (sol) por M (sol, hace 8 minutos). Pero, y aquí está el punto que casi universalmente se pasa por alto, M (sol, hace 8 minutos) es lo mismo que M (sol) ahora. Entonces, el tamaño del efecto es cero.

El es exactamente análogo a tratar de medir la velocidad de la luz midiendo cómo cambia el brillo del sol en el curso de una órbita (despreciando la variabilidad del sol).

Jajaja. Me imaginé que podría haber sido por su biografía. Pero es cierto que su artículo calienta la imaginación de lectores no bien informados (como yo). Después de leer el enlace de arriba y regurgitarlo en mi almohada, me di cuenta (duh ^ _ ^) exactamente de lo que acabas de decir, el movimiento aparente del Sol a través del cielo no cambia el hecho de que, para todos los relatos, el sol es estático en relación con la Tierra.

Otra cosa que me pregunto es si un experimento como el siguiente podría ayudar a medir la velocidad de cambio en la atracción gravitacional: para enviar una serie de sondas a un cometa y medir su atracción gravitacional, luego parte (nuclear) el cometa en dos y mide cuánto tiempo se necesita para que la nueva configuración de su masa afecte la órbita de las sondas.

Vanadio 50: Pero el planeta se ha movido, y de ahí viene la inestabilidad en este modelo.

Steve Carlip también escribió una versión más técnica de la publicación previamente vinculada:
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9909087v2.pdf

La forma en que me gusta pensar en cómo funciona es la siguiente:
Imagínese una situación en la que tiene una estrella sentada sola en el espacio y un objeto que se mueve rápidamente que se acerca a ella y su movimiento se desvía un poco. La idea clave aquí, creo, es imaginar la gravedad no como una fuerza entre dos objetos, sino como un campo que rodea a los objetos masivos. Entonces, el objeto que se mueve rápidamente no se da cuenta ni le importa dónde está la estrella: solo siente el campo gravitacional que rodea a la estrella.


Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería

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Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería, cuarta edición, es un texto clave para los estudiantes de ingeniería aeroespacial. While this latest edition has been updated with new content and included sample problems, it also retains its teach-by-example approach that emphasizes analytical procedures, computer-implemented algorithms, and the most comprehensive support package available, including fully worked solutions, PPT lecture slides, and animations of selected topics. Highly illustrated and fully supported with downloadable MATLAB algorithms for project and practical work, this book provides all the tools needed to fully understand the subject.


And just how do you know that?

I was once watching an AP math class on television in which they were doing a problem where an object was dropped from a certain height and the problem was to find when it hit the ground. At one point the teacher said "Since we are not told the initial speed we will take that to be 0".

I almost threw a brick through the t.v. You NEVER take a value to be 0 simply because you are not told what it was. In the t.v. problem it happened to be correct because the problem said "dropped" as opposed to thrown up or down.

It's very likely that the object in this problem is starting from rest but that had better be stated somewhere in the problem.

I am concerned about the force being "instantaneous not continuous". If, by that, you mean that the force is applied only for an infinitesmal time, then it will not affect the motion of the object at all.

And just how do you know that?

I was once watching an AP math class on television in which they were doing a problem where an object was dropped from a certain height and the problem was to find when it hit the ground. At one point the teacher said "Since we are not told the initial speed we will take that to be 0".

I almost threw a brick through the t.v. You NEVER take a value to be 0 simply because you are not told what it was. In the t.v. problem it happened to be correct because the problem said "dropped" as opposed to thrown up or down.

Whoa! We need to get you into an anger-management class! :)

I don't know about you two, but I find the original question rather vague and confusing. In a typical projectile motion problem, we never care about "instantaneous" force. There is only one force in a typical projectile motion problem - gravity! This is a constant throughout the motion. The only possible instantaneous force is the impulse given to the projectile at the beginning of its motion. This never comes into play as far as the parameters of the projectile problem is concerned. Only the initial velocity is typically the relevant parameter that is the result of such impulse.

So unless this is a different type of problem that is specifically including the impulse at the beginning of the motion, then I have no idea what "instantaneous" force we're dealing with here.

. just don't throw a brick at me. :)

All forces are "instantaneous" in their effect on an object, in that the acceleration of the object at a given instant is completely specified by the net force acting upon the object at that particular instant.
In particular, a force that acted on an object at an earlier (or later!) instant has no bearing/effect upon the instantenaous acceleration of an object.
When we say that a force is constant through time (as in gravity), it means that at every single instant, the instantaneous force acting upon the object is equal in magnitude and direction as every other instantaneous forces (acting upon the object at other instants).

If a single instantaneous force is to produce momentum change, i.e effecting, on its own, a non-zero impulse on an object,
(rather than that the (non-zero) impulse is the cumulative effect of the set of instantaneous forces acting on the object during a non-zero time interval),
then that force must be of infinite magnitude.

I hate to argue about semantics here, especially since the originator of this question hasn't clarified the exact problem. However, I hate to think that we teach students at this level using such complicated and, frankly, confusing terminology. An "instantaneous" force implies, at least to me, something that operates only over a very short time scale. That is why I brought up the example of an Impulse, something that students at the high-school/intro level can understand and have come across.

However, to equate that with the situation F(t)=constant because at any "instant" t1, F(t1) acts "instantaneously" on the object is confusing, at least pedagogically. You and I know what this actually means. But does that justify conveying the muddle picture to someone at an intro level, for example? I can think of a whole other scenarios where one can argue that since time is continuous (let's not bring in discrete time and space in a classical physics problem), F(t) is also continuous, so that an "instantaneous" value is simply due to our measurement window, not the actual situation.

The issue here is that we can complicate this seemingly elementary problem ad nauseum. If this is a "typical" projectile motion problem, then I suggest we find the solution via the "typical" approach unless we're willing to spend time formulating and explaining our own methodology.


Graphs of Motion

Modern mathematical notation is a highly compact way to encode ideas. Equations can easily contain the information equivalent of several sentences. Galileo's description of an object moving with constant speed (perhaps the first application of mathematics to motion) required one definition, four axioms, and six theorems. All of these relationships can now be written in a single equation.

When it comes to depth, nothing beats an equation.

Well, almost nothing. Think back to the previous section on the equations of motion. You should recall that the three (or four) equations presented in that section were only valid for motion with constant acceleration along a straight line. Since, as I rightly pointed out, "no object has ever traveled in a straight line with constant acceleration anywhere in the universe at any time" these equations are only approximately true, only once in a while.

Equations are great for describing idealized situations, but they don't always cut it. Sometimes you need a picture to show what's going on — a mathematical picture called a graph. Graphs are often the best way to convey descriptions of real world events in a compact form. Graphs of motion come in several types depending on which of the kinematic quantities (time, position, velocity, acceleration) are assigned to which axis.

Position-time

Let's begin by graphing some examples of motion at a constant velocity. Three different curves are included on the graph to the right, each with an initial position of zero. Note first that the graphs are all straight. (Any kind of line drawn on a graph is called a curve. Even a straight line is called a curve in mathematics.) This is to be expected given the linear nature of the appropriate equation. (The independent variable of a is raised no higher than the first power.)

Compare the position-time equation for constant velocity with the classic slope-intercept equation taught in introductory algebra.

s = s0 + vt
y = a + bx

Thus velocity corresponds to slope and initial position to the intercept on the vertical axis (commonly thought of as the "y" axis). Since each of these graphs has its intercept at the origin, each of these objects had the same initial position. This graph could represent a race of some sort where the contestants were all lined up at the starting line (although, at these speeds it must have been a race between tortoises). If it were a race, then the contestants were already moving when the race began, since each curve has a non-zero slope at the start. Note that the initial position being zero does not necessarily imply that the initial velocity is also zero. The height of a curve tells you nothing about its slope.

  • On a position-time graph…
    • slope is
    • the "y" intercept is the
    • when two curves coincide, the two objects have the same position at that time

    In contrast to the previous examples, let's graph the position of an object with a constant, non-zero acceleration starting from rest at the origin. The primary difference between this curve and those on the previous graph is that this curve actually curves. The relation between position and time is quadratic when the acceleration is constant and therefore this curve is a . (The variable of a is raised no higher than the second power.)

    s = s0 + v0t + 1 at 2
    2
    y = a + bx + cx 2

    As an exercise, let's calculate the acceleration of this object from its graph. It intercepts the origin, so its initial position is zero, the example states that the initial velocity is zero, and the graph shows that the object has traveled 9 m in 10 s. These numbers can then be entered into the equation.

    When a position-time graph is curved, it is not possible to calculate the velocity from it's slope. Slope is a property of straight lines only. Such an object doesn't have a velocity because it doesn't have a slope. The words "the" and "a" are underlined here to stress the idea that there is no único velocity under these circumstances. The velocity of such an object must be changing. It's accelerating.

    • On a position-time graph…
      • straight segments imply
      • curve segments imply
      • an object undergoing traces a portion of a parabola

      Although our hypothetical object has no single velocity, it still does have an average velocity and a continuous collection of instantaneous velocities. The average velocity of any object can be found by dividing the overall change in position (a.k.a. the displacement) by the change in time.

      This is the same as calculating the slope of the straight line connecting the first and last points on the curve as shown in the diagram to the right. In this abstract example, the average velocity of the object was…

      v = s = 9.5 m = 0.95 m/s
      t 10.0 s

      Instantaneous velocity is the limit of average velocity as the time interval shrinks to zero.

      As the endpoints of the line of average velocity get closer together, they become a better indicator of the actual velocity. When the two points coincide, the line is tangent to the curve. This limit process is represented in the animation to the right.

      • On a position-time graph…
        • is the slope of the straight line connecting the endpoints of a curve
        • is the slope of the line tangent to a curve at any point

        Seven tangents were added to our generic position-time graph in the animation shown above. Note that the slope is zero twice — once at the top of the bump at 3.0 s and again in the bottom of the dent at 6.5 s. (The bump is a , while the dent is a . Collectively such points are known as .) The slope of a horizontal line is zero, meaning that the object was motionless at those times. Since the graph is not flat, the object was only at rest for an instant before it began moving again. Although its position was not changing at that time, its velocity was. This is a notion that many people have difficulty with. It is possible to be accelerating and yet not be moving, but only for an instant.

        Note also that the slope is negative in the interval between the bump at 3.0 s and the dent at 6.5 s. Some interpret this as motion in reverse, but is this generally the case? Well, this is an abstract example. It's not accompanied by any text. Graphs contain a lot of information, but without a title or other form of description they have no meaning. What does this graph represent? A person? A car? An elevator? A rhinoceros? An asteroid? A mote of dust? About all we can say is that this object was moving at first, slowed to a stop, reversed direction, stopped again, and then resumed moving in the direction it started with (whatever direction that was). Negative slope does not automatically mean driving backward, or walking left, or falling down. The choice of signs is always arbitrary. About all we can say in general, is that when the slope is negative, the object is traveling in the negative direction.

        • On a position-time graph…
          • positive slope implies motion in the positive direction
          • negative slope implies motion in the negative direction
          • zero slope implies a state of rest

          Velocity-time

          The most important thing to remember about velocity-time graphs is that they are velocity-time graphs, not position-time graphs. There is something about a line graph that makes people think they're looking at the path of an object. A common beginner's mistake is to look at the graph to the right and think that the the v = 9.0 m/s line corresponds to an object that is "higher" than the other objects. Don't think like this. It's wrong.

          Don't look at these graphs and think of them as a picture of a moving object. Instead, think of them as the record of an object's velocity. In these graphs, higher means faster not farther. La v = 9.0 m/s line is higher because that object is moving faster than the others.

          These particular graphs are all horizontal. The initial velocity of each object is the same as the final velocity is the same as every velocity in between. The velocity of each of these objects is constant during this ten second interval.

          In comparison, when the curve on a velocity-time graph is straight but not horizontal, the velocity is changing. The three curves to the right each have a different slope. The graph with the steepest slope experiences the greatest rate of change in velocity. That object has the greatest acceleration. Compare the velocity-time equation for constant acceleration with the classic slope-intercept equation taught in introductory algebra.

          v = v0 + at
          y = a + bx

          You should see that acceleration corresponds to slope and initial velocity to the intercept on the vertical axis. Since each of these graphs has its intercept at the origin, each of these objects was initially at rest. The initial velocity being zero does not mean that the initial position must also be zero, however. This graph tells us nothing about the initial position of these objects. For all we know they could be on different planets.

          • On a velocity-time graph…
            • slope is
            • the "y" intercept is the
            • when two curves coincide, the two objects have the same velocity at that time

            The curves on the previous graph were all straight lines. A straight line is a curve with constant slope. Since slope is acceleration on a velocity-time graph, each of the objects represented on this graph is moving with a constant acceleration. Were the graphs curved, the acceleration would have been not constant.

            • On a velocity-time graph…
              • straight lines imply
              • curved lines imply
              • an object undergoing traces a straight line

              Since a curved line has no single slope we must decide what we mean when asked for the acceleration of an object. These descriptions follow directly from the definitions of average and instantaneous acceleration. If the average acceleration is desired, draw a line connecting the endpoints of the curve and calculate its slope. If the instantaneous acceleration is desired, take the limit of this slope as the time interval shrinks to zero, that is, take the slope of a tangent.

              • On a velocity-time graph…
                • is the slope of the straight line connecting the endpoints of a curve

                Seven tangents were added to our generic velocity-time graph in the animation shown above. Note that the slope is zero twice — once at the top of the bump at 3.0 s and again in the bottom of the dent at 6.5 s. The slope of a horizontal line is zero, meaning that the object stopped accelerating instantaneously at those times. The acceleration might have been zero at those two times, but this does not mean that the object stopped. For that to occur, the curve would have to intercept the horizontal axis. This happened only once — at the start of the graph. At both times when the acceleration was zero, the object was still moving in the positive direction.

                You should also notice that the slope was negative from 3.0 s to 6.5 s. During this time the speed was decreasing. This is not true in general, however. Speed decreases whenever the curve returns to the origin. Above the horizontal axis this would be a negative slope, but below it this would be a positive slope. About the only thing one can say about a negative slope on a velocity-time graph is that during such an interval, the velocity is becoming more negative (or less positive, if you prefer).

                • On a velocity-time graph…
                  • positive slope implies an increase in velocity in the positive direction
                  • negative slope implies an increase in velocity in the negative direction
                  • zero slope implies motion with

                  In kinematics, there are three quantities: position, velocity, and acceleration. Given a graph of any of these quantities, it is always possible in principle to determine the other two. Acceleration is the time rate of change of velocity, so that can be found from the slope of a tangent to the curve on a velocity-time graph. But how could position be determined? Let's explore some simple examples and then derive the relationship.

                  Start with the simple velocity-time graph shown to the right. (For the sake of simplicity, let's assume that the initial position is zero.) There are three important intervals on this graph. During each interval, the acceleration is constant as the straight line segments show. When acceleration is constant, the average velocity is just the average of the initial and final values in an interval.

                  0–4 s: This segment is triangular. The area of a is one-half the base times the height. Essentially, we have just calculated the area of the triangular segment on this graph.

                  s = vt
                  s = ½(v + v0)∆t
                  s = ½(8 m/s)(4 s)
                  s = 16 m

                  The cumulative distance traveled at the end of this interval is…

                  4–8 s: This segment is trapezoidal. The area of a (or ) is the average of the two bases times the altitude. Essentially, we have just calculated the area of the trapezoidal segment on this graph.

                  s = vt
                  s = ½(v + v0)∆t
                  s = ½(10 m/s + 8 m/s)(4 s)
                  s = 36 m

                  The cumulative distance traveled at the end of this interval is…

                  8–10 s: This segment is rectangular. The area of a is just its height times its width. Essentially, we have just calculated the area of the rectangular segment on this graph.

                  s = vt
                  s = (10 m/s)(2 s)
                  s = 20 m

                  The cumulative distance traveled at the end of this interval is…

                  I hope by now that you see the trend. The area under each segment is the change in position of the object during that interval. This is true even when the acceleration is not constant.

                  Anyone who has taken a calculus course should have known this before they read it here (or at least when they read it they should have said, "Oh yeah, I remember that"). The first derivative of position with respect to time is velocity. The derivative of a function is the slope of a line tangent to its curve at a given point. The inverse operation of the derivative is called the integral. The integral of a function is the cumulative area between the curve and the horizontal axis over some interval. This inverse relation between the actions of derivative (slope) and integral (area) is so important that it's called the . This means that it's an important relationship. Learn it! It's "fundamental". You haven't seen the last of it.

                  Acceleration-time

                  The acceleration-time graph of any object traveling with a constant velocity is the same. This is true regardless of the velocity of the object. An airplane flying at a constant 270 m/s (600 mph), a sloth walking with a constant speed 0.4 m/s (1 mph), and a couch potato lying motionless in front of the TV for hours will all have the same acceleration-time graphs — a horizontal line collinear with the horizontal axis. That's because the velocity of each of these objects is constant. They're not accelerating. Their accelerations are zero. As with velocity-time graphs, the important thing to remember is that the height above the horizontal axis doesn't correspond to position or velocity, it corresponds to acceleration.

                  If you trip and fall on your way to school, your acceleration towards the ground is greater than you'd experience in all but a few high performance cars with the "pedal to the metal". Acceleration and velocity are different quantities. Going fast does not imply accelerating quickly. The two quantities are independent of one another. A large acceleration corresponds to a rapid change in velocity, but it tells you nothing about the values of the velocity itself.

                  When acceleration is constant, the acceleration-time curve is a horizontal line. The rate of change of acceleration with time is not often discussed, so the slope of the curve on this graph will be ignored for now. If you enjoy knowing the names of things, this quantity is called . On the surface, the only information one can glean from an acceleration-time graph appears to be the acceleration at any given time.

                  • On an acceleration-time graph…
                    • slope is
                    • the "y" intercept equals the
                    • when two curves coincide, the two objects have the same acceleration at that time
                    • an object undergoing traces a horizontal line
                    • zero slope implies motion with

                    Acceleration is the rate of change of velocity with time. Transforming a velocity-time graph to an acceleration-time graph means calculating the slope of a line tangent to the curve at any point. (In calculus, this is called finding the derivative.) The reverse process entails calculating the cumulative area under the curve. (In calculus, this is called finding the integral.) This number is then the change of value on a velocity-time graph.

                    Given an initial velocity of zero (and assuming that down is positive), the final velocity of the person falling in the graph to the right is…

                    v = a∆t
                    v = (9.8 m/s 2 )(1.0 s)
                    v = 9.8 m/s = 22 mph

                    and the final velocity of the accelerating car is…

                    There are more things one can say about acceleration-time graphs, but they are trivial for the most part.

                    Phase space

                    There is a fourth graph of motion that relates velocity to position. It is as important as the other three types, but it rarely gets any attention below the advanced undergraduate level. Some day I will write something about these graphs called diagrams, but not today.


                    Modern ephemeris

                    For scientific uses, a modern planetary ephemeris comprises software that generates positions of planets and often of their satellites, asteroids, or comets, at virtually any time desired by the user.

                    Typically, such ephemerides cover several centuries, past and future the future ones can be covered because the field of celestial mechanics has developed several accurate theories. Nevertheless, there are secular phenomena which cannot adequately be considered by ephemerides. The greatest uncertainties in the positions of planets are caused by the perturbations of numerous asteroids, most of whose masses and orbits are poorly known, rendering their effect uncertain. Reflecting the continuing influx of new data and observations, NASA's Jet Propulsion Laboratory (JPL) has to revise its published ephemerides at intervals of 20 years. [4]

                    Solar system ephemerides are essential for the navigation of spacecraft and for all kinds of space observations of the planets, their natural satellites, stars, and galaxies.

                    Scientific ephemerides for sky observers mostly contain the positions of celestial bodies in right ascension and declination, because these coordinates are the most frequently used on star maps and telescopes. The equinox of the coordinate system must be given. It is, in nearly all cases, either the actual equinox (the equinox valid for that moment, often referred to as "of date" or "current"), or that of one of the "standard" equinoxes, typically J2000.0, B1950.0, or J1900. Star maps almost always use one of the standard equinoxes.

                    Scientific ephemerides often contain further useful data about the moon, planet, asteroid, or comet beyond the pure coordinates in the sky, such as elongation to the sun, brightness, distance, velocity, apparent diameter in the sky, phase angle, times of rise, transit, and set, etc. Ephemerides of the planet Saturn also sometimes contain the apparent inclination of its ring.

                    An ephemeris is usually only correct for a particular location on the Earth. In many cases the differences are too small to matter, but for nearby asteroids or the Moon they can be quite important.

                    Global Positioning System (GPS) navigation satellites transmit electronic ephemeris data consisting of health and exact location data. A GPS receiver can use the transmissions from multiple such satellites to calculate its own location using trilateration.

                    Other modern ephemerides recently created are the EPM (Ephemerides of Planets and the Moon), from the Russian Institute for Applied Astronomy of the Russian Academy of Sciences, [5] and the INPOP (Integration Numerique Planetaire de l'Observatoire de Paris) by the French IMCCE. [6]

                    The Photographer's Ephemeris is a free useful software tool for photographers needing the times of twilight and the rise and set times of the sun and moon. [7]


                    Ver el vídeo: A qué VELOCIDAD viaja la GRAVEDAD? Aníbal Pregunta (Febrero 2023).